A posição de uma partícula no eixo
é dada por:
(no SI).
(a) (RA1) Determine as funções para a velocidade e a aceleração da partícula.
(b) (RA2) Determine VMED e amed para o intervalo de tempo de 0 a
.
(c) (RA2) Existe algum tempo no qual a velocidade é nula?
(d) (RA2) Descreva o movimento para
.
(a) (RA1) Determine as funções para a velocidade e a aceleração da partícula.
(b) (RA2) Determine VMED e amed para o intervalo de tempo de 0 a
(c) (RA2) Existe algum tempo no qual a velocidade é nula?
(d) (RA2) Descreva o movimento para
Passo 1
Enunciado e o que nos é pedido (resumindo e organizando): a função posição da partícula no eixo
é
Perguntas:
(a) Determinar as funções da velocidade e da aceleração da partícula (funções de ).
(b) Calcular a velocidade média e a aceleração média
no intervalo de tempo de
a
.
(c) Verificar se existe algum tempo em que a velocidade é nula (e quais tempos).
(d) Descrever o movimento no instante (posição, velocidade, aceleração e interpretação física).
(a) Determinar as funções da velocidade e da aceleração da partícula (funções de
(b) Calcular a velocidade média
(c) Verificar se existe algum tempo em que a velocidade é nula (e quais tempos).
(d) Descrever o movimento no instante
Informações dadas relevantes:
e o intervalo para as médias é
. Não há outras restrições explícitas de domínio além do tempo real.
Passo 2
Conceitos essenciais e fórmula usada para (a) — por que derivamos:
- A velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Isto significa que para cada termo de
aplicamos as regras básicas de derivação:
,
e
.
- A aceleração instantânea
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou segunda derivada da posição):
Agora aplicamos essas regras passo a passo à função dada:
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Portanto:
Derivando
para obter
:
logo
Passo 3
Cálculo da velocidade média
no intervalo
.
Definição e fórmula:
A velocidade média num intervalo é a variação da posição dividida pelo tempo:
Definição e fórmula:
A velocidade média num intervalo
Aqui
e
. Calculamos
e
passo a passo.
Calcule
:
Computando os termos:
Somando:
Calcule
:
Agora a variação de posição:
E o intervalo de tempo:
Portanto:
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, no intervalo, o deslocamento total foi no sentido negativo do eixo
.
Passo 4
Cálculo da aceleração média
no intervalo
.
Definição e fórmula:
A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo tempo:
Definição e fórmula:
A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo tempo:
Usamos a função
.
Calcule e
:
Calcule
Variação de velocidade:
Dividindo pelo intervalo de tempo
:
Passo 5
Existem tempos em que a velocidade é nula? (parte c)
Pegamos a expressão de e resolvemos
:
Pegamos a expressão de
Dividindo por
:
Isto é uma equação quadrática simples; fatorando:
Assim as soluções são
e
. Interpretação física: como estamos tratando tempo em segundos tipicamente a partir de
, o tempo relevante é
O valor
é matematicamente solução mas corresponde a um instante anterior a
(se não estivermos considerando tempo negativo).
Passo 6
Descrição detalhada do movimento em
(parte d):
Calcule posição, velocidade e aceleração no instante .
Calcule posição, velocidade e aceleração no instante
Posição:
Cálculo dos termos:
Somando:
Velocidade instantânea:
Aceleração instantânea:
Interpretação física (passo a passo e bem didático):
-
: a partícula está na posição metros no eixo . -
: a velocidade é negativa, então a partícula está se movendo no sentido negativo do eixo (para a “esquerda”), com rapidez . -
: a aceleração é positiva (no sentido positivo do eixo ). - Como a velocidade é negativa e a aceleração é positiva, a aceleração tem sentido oposto ao da velocidade. Isso significa que a partícula está desacelerando (a magnitude da velocidade está diminuindo). Em linguagem de prova: aceleração oposta à velocidade ⇒ velocidade em módulo diminui.
- Observação útil: como em
a velocidade zerará (Passo 5) e a aceleração é positiva, a partícula continuará desacelerando até parar em e depois irá inverte o sentido e passar a mover-se no sentido positivo.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim. (também há
matematicamente).
(d) A partícula está se movendo no sentido negativo com rapidez
e desacelerando (pois a aceleração é positiva, oposta à velocidade).
(b)
(c) Sim.
(d)