A posição de uma partícula no eixo x é dada por: x(t)=t^{3}-27 t+4,0 (no SI).
(a) (RA1) Determine as funções para a velocidade e a aceleração da partícula.
(b) (RA2) Determine VMED e amed para o intervalo de tempo de 0 a 5,0 \mathrm{~s}.
(c) (RA2) Existe algum tempo no qual a velocidade é nula?
(d) (RA2) Descreva o movimento para t=2,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

Enunciado e o que nos é pedido (resumindo e organizando): a função posição da partícula no eixo x é
x(t)=t^{3}-27\,t+4,0.
Perguntas:
(a) Determinar as funções da velocidade e da aceleração da partícula (funções de t).
(b) Calcular a velocidade média \mathrm{VMED} e a aceleração média \overline{a} no intervalo de tempo de 0 a 5,0\\ \mathrm{s}.
(c) Verificar se existe algum tempo em que a velocidade é nula (e quais tempos).
(d) Descrever o movimento no instante t=2,0\\ \mathrm{s} (posição, velocidade, aceleração e interpretação física).
Informações dadas relevantes:
x(t)=t^{3}-27\,t+4,0
e o intervalo para as médias é t\in[0,5,0]. Não há outras restrições explícitas de domínio além do tempo real.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmula usada para (a) — por que derivamos:
  • A velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Isto significa que para cada termo de x(t) aplicamos as regras básicas de derivação: \frac{d}{dt}(t^{n})=n\,t^{n-1}, \frac{d}{dt}(c\,t)=c e \frac{d}{dt}(\text{constante})=0.
  • A aceleração instantânea a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou segunda derivada da posição):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Agora aplicamos essas regras passo a passo à função dada:
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\bigl(-27\,t\bigr)=-27,\qquad \frac{d}{dt}(4,0)=0.
Portanto:
v(t)=3t^{2}-27.
Derivando v(t) para obter a(t):
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=6t,\qquad \frac{d}{dt}(-27)=0,
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a(t)=6t.

Passo 3

Cálculo da velocidade média \mathrm{VMED} no intervalo [0,5,0].
Definição e fórmula:
A velocidade média num intervalo [t_{1},t_{2}] é a variação da posição dividida pelo tempo:
\mathrm{VMED}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=0 e t_{2}=5,0. Calculamos x(5,0) e x(0) passo a passo.
Calcule x(5,0):
x(5,0)=(5,0)^{3}-27\cdot(5,0)+4,0.
Computando os termos:
(5,0)^{3}=125,\qquad -27\cdot(5,0)=-135,\qquad +4,0=4.
Somando:
x(5,0)=125-135+4= -6.
Calcule x(0):
x(0)=0^{3}-27\cdot0+4,0=4,0.
Agora a variação de posição:
\Delta x = x(5,0)-x(0) = -6 - 4,0 = -10.
E o intervalo de tempo:
\Delta t = 5,0 - 0 = 5,0.
Portanto:
\mathrm{VMED}=\frac{-10}{5,0} = -2\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, no intervalo, o deslocamento total foi no sentido negativo do eixo x.

Passo 4

Cálculo da aceleração média \overline{a} no intervalo [0,5,0].
Definição e fórmula:
A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo tempo:
\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Usamos a função v(t)=3t^{2}-27.
Calcule v(5,0) e v(0):
v(5,0)=3\cdot(5,0)^{2}-27 = 3\cdot25 -27 =75-27=48.
v(0)=3\cdot0^{2}-27 = -27.
Variação de velocidade:
\Delta v = v(5,0)-v(0)=48 - (-27)=48+27=75.
Dividindo pelo intervalo de tempo \Delta t=5,0:
\overline{a}=\frac{75}{5,0}=15\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Existem tempos em que a velocidade é nula? (parte c)
Pegamos a expressão de v(t) e resolvemos v(t)=0:
3t^{2}-27=0.
Dividindo por 3:
t^{2}-9=0.
Isto é uma equação quadrática simples; fatorando:
(t-3)(t+3)=0.
Assim as soluções são t=3 e t=-3. Interpretação física: como estamos tratando tempo em segundos tipicamente a partir de t=0, o tempo relevante é
t=3\\ \mathrm{s}.
O valor t=-3\\ \mathrm{s} é matematicamente solução mas corresponde a um instante anterior a t=0 (se não estivermos considerando tempo negativo).

Passo 6

Descrição detalhada do movimento em t=2,0\\ \mathrm{s} (parte d):
Calcule posição, velocidade e aceleração no instante t=2,0.
Posição:
x(2,0)=(2,0)^{3}-27\cdot(2,0)+4,0.
Cálculo dos termos:
(2,0)^{3}=8,\qquad -27\cdot(2,0)=-54,\qquad +4,0=4.
Somando:
x(2,0)=8-54+4 = -42\\ \mathrm{m}.
Velocidade instantânea:
v(2,0)=3\cdot(2,0)^{2}-27 = 3\cdot4 -27 = 12-27 = -15\\ \mathrm{m/s}.
Aceleração instantânea:
a(2,0)=6\cdot(2,0)=12\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação física (passo a passo e bem didático):
  • x(2,0)=-42\\ \mathrm{m}: a partícula está na posição -42 metros no eixo x.
  • v(2,0)=-15\\ \mathrm{m/s}: a velocidade é negativa, então a partícula está se movendo no sentido negativo do eixo x (para a “esquerda”), com rapidez 15\\ \mathrm{m/s}.
  • a(2,0)=+12\\ \mathrm{m/s^{2}}: a aceleração é positiva (no sentido positivo do eixo x).
  • Como a velocidade é negativa e a aceleração é positiva, a aceleração tem sentido oposto ao da velocidade. Isso significa que a partícula está desacelerando (a magnitude da velocidade está diminuindo). Em linguagem de prova: aceleração oposta à velocidade ⇒ velocidade em módulo diminui.
  • Observação útil: como em t=3\\ \mathrm{s} a velocidade zerará (Passo 5) e a aceleração é positiva, a partícula continuará desacelerando até parar em t=3\\ \mathrm{s} e depois irá inverte o sentido e passar a mover-se no sentido positivo.

Resposta

(a) v(t)=3t^{2}-27,\quad a(t)=6t.
(b) \mathrm{VMED}=-2\\ \mathrm{m/s},\quad \overline{a}=15\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(c) Sim. t=3\\ \mathrm{s} (também há t=-3\\ \mathrm{s} matematicamente).
(d) x(2,0)=-42\\ \mathrm{m},\\ v(2,0)=-15\\ \mathrm{m/s},\\ a(2,0)=12\\ \mathrm{m/s^{2}}. A partícula está se movendo no sentido negativo com rapidez 15\\ \mathrm{m/s} e desacelerando (pois a aceleração é positiva, oposta à velocidade).

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