\hline 2. Efetue a operação e expresse X na forma retangular:
X=\frac{\left(6 \angle 20^{\circ}\right)+\left[\left(120 \angle-40^{\circ}\right)(3+j 8)\right]}{\left(2 \angle-30^{\circ}\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule
X=\frac{\left(6 \angle 20^{\circ}\right)+\left[\left(120 \angle -40^{\circ}\right)(3+j8)\right]}{\left(2 \angle -30^{\circ}\right)}
Lista das informações/dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{termo 1: }6\angle 20^{\circ} \\\ &\text{termo 2: }120\angle -40^{\circ} \\\ &\text{número complexo multiplicador: }3+j8 \\\ &\text{denominador: }2\angle -30^{\circ} \end{aligned}ú
O que é pedido: obter X na forma retangular (ou seja, X = \text{Re} + j\,\text{Im}).

Passo 2

Vou primeiro converter o fasor \;120\angle -40^{\circ}\; para a forma retangular. Fórmula de conversão polar \to retangular:
r\angle \theta = r(\cos\theta + j\sin\theta).
Aplicando com r=120 e \theta=-40^{\circ}:
120\angle -40^{\circ} = 120\big(\cos(-40^{\circ}) + j\sin(-40^{\circ})\big).
Como \cos(-40^{\circ})=\cos 40^{\circ} e \sin(-40^{\circ})=-\sin 40^{\circ}, uso aproximações tabeladas:
\cos 40^{\circ}\approx 0,7660,\qquad \sin 40^{\circ}\approx 0,6428.
Logo
120\angle -40^{\circ} \approx 120(0,7660 - j\,0,6428) = 91,92 - j\,77,136.

Passo 3

Agora multiplico esse resultado por 3+j8. Regra para multiplicação de complexos retangulares:
(a+jb)(c+jd) = (ac-bd) + j(ad+bc).
Tomando a=91,92, b=-77,136, c=3, d=8:
\begin{aligned} ac &= 91,92\cdot 3 = 275,76,\\\ bd &= (-77,136)\cdot 8 = -617,088,\\\ ac-bd &= 275,76 - (-617,088) = 892,848,\\\ ad &= 91,92\cdot 8 = 735,36,\\\ bc &= (-77,136)\cdot 3 = -231,408,\\\ ad+bc &= 735,36 - 231,408 = 503,952. \end{aligned}
Portanto
\left(120\angle -40^{\circ}\right)(3+j8) \approx 892,848 + j\,503,952.

Passo 4

Converto também 6\angle 20^{\circ} para retangular usando a mesma fórmula:
6\angle 20^{\circ} = 6(\cos 20^{\circ} + j\sin 20^{\circ}).
Usando \cos 20^{\circ}\approx 0,9396926 e \sin 20^{\circ}\approx 0,3420201,
6\angle 20^{\circ} \approx 6(0,9396926 + j\,0,3420201) \approx 5,638156 + j\,2,052121.

Passo 5

Somando o termo 6\angle 20^{\circ} ao produto que calculamos no Passo 3, obtemos o numerador em forma retangular:
\begin{aligned} \text{numerador} &= (5,638156 + j\,2,052121) + (892,848 + j\,503,952)\\\ &= 898,486156 + j\,506,004121. \end{aligned}
Para facilitar, vou manter quatro casas decimais nas etapas finais; portanto registro:
\text{numerador} \approx 898,4862 + j\,506,0041.

Passo 6

Agora preciso dividir esse numerador pelo denominador 2\angle -30^{\circ}. Há duas maneiras naturais:
  • converter o numerador para polar e fazer a divisão em polar (divide-se magnitude e subtrai-se ângulos), ou
  • converter o denominador para retangular e multiplicar numerador pelo conjugado do denominador, depois dividir pelo módulo ao quadrado.
Escolho a segunda forma porque, ao converter 2\angle -30^{\circ} para retangular, obtemos coeficientes simples e o módulo ao quadrado dá exatamente 4 (pois o módulo é 2), o que simplifica muito as contas. Vou mostrar isso.
Converter o denominador:
2\angle -30^{\circ} = 2(\cos(-30^{\circ}) + j\sin(-30^{\circ})) = 2(0,8660254 - j\,0,5) = 1,7320508 - j\,1,0.
O conjugado é 1,7320508 + j\,1,0 e o módulo ao quadrado é
|2\angle -30^{\circ}|^2 = 2^2 = 4.

Passo 7

Multiplico o numerador pelo conjugado do denominador e depois divido por 4:
X = \frac{(898,4862 + j\,506,0041)(1,7320508 + j\,1)}{4}.
Faço a multiplicação usando a fórmula do Passo 3, agora com a=898,4862, b=506,0041, c=1,7320508, d=1:
\begin{aligned} ac &= 898,4862\cdot 1,7320508 \approx 1556,223744,\\\ bd &= 506,0041\cdot 1 = 506,0041,\\\ ac-bd &\approx 1556,223744 - 506,0041 = 1050,219644,\\\ ad &= 898,4862\cdot 1 = 898,4862,\\\ bc &= 506,0041\cdot 1,7320508 \approx 876,424806,\\\ ad+bc &\approx 898,4862 + 876,424806 = 1774,911006. \end{aligned}
Assim o produto é
(898,4862 + j\,506,0041)(1,7320508 + j\,1) \approx 1050,219644 + j\,1774,911006.
Dividindo por 4:
X \approx \frac{1050,219644}{4} + j\frac{1774,911006}{4} \approx 262,554911 + j\,443,7277515.

Passo 8

Arredondando de forma prática para três casas decimais (suficiente para prova e legível):
X \approx 262,555 + j\,443,728.
Pronto — obtivemos X na forma retangular. Se quiser, dá para conferir que o módulo e o ângulo correspondem ao dividir em polar: módulo aproximadamente 515,586 e ângulo aproximadamente 59,4^{\circ}, que conferem com a divisão em polar (mas a forma retangular acima é o que foi pedido).

Resposta

\;X \approx 262,555 + j\,443,728

Exercícios relacionados