((AOCP - 2019, PARAÍBA) Uma medida de ângulo pouco utilizada na matemática é o grado: unidade de arco que equivale à centésima parte de um quadrante e sua representação é gon. Assim, valem as equivalências:
  • 90^{\circ} \Rightarrow 100 gon;
  • 180^{\circ} \Rightarrow 200 gon;
  • 270^{\circ} \Rightarrow 300 gon;
  • 360^{\circ} \Rightarrow 400 gon.
Considere um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular. Indicando a medida do ângulo interno do triângulo equilátero por i_{1}, a medida do ângulo interno do quadrado por i_{2} e a medida do ângulo interno do hexágono por i_{3}, encontre o valor do ângulo i_{4}=90^{\circ} \times \frac{i_{3}-i_{2}}{i_{1}}. Após encontrá-lo, é correto afirmar que a medida do complemento do ângulo i_{4}, em grados, será igual a
(a) 50 gon.
(b) 40 gon.
(c) 70 gon.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado fornece equivalências entre graus e grados (gon): 90^\circ \Rightarrow 100\\ \text{gon}.
  • Temos três polígonos regulares e as medidas dos ângulos internos são indicadas por: i_{1}\\ \text{(triângulo equilátero)},\qquad i_{2}\\ \text{(quadrado)},\qquad i_{3}\\ \text{(hexágono regular)}.âáá
  • Define-se o ângulo i_{4} = 90^\circ \times \frac{i_{3}-i_{2}}{i_{1}}.
  • O que o exercício pede:
    • Calcular i_{4} a partir dos i_{1},i_{2},i_{3} dados pelos polígonos regulares.
    • Encontrar a medida do complemento de i_{4}, mas expressa em grados (gon).
  • Observação: "complemento de i_{4}" significa o ângulo que somado a i_{4} 90^\circ.

Passo 2

Calcular as medidas dos ângulos internos dos polígonos regulares dados.
Primeiro, lembrando (aqui explico a fórmula usada): para um polígono regular de n lados, a soma dos ângulos internos é (n-2)\cdot180^\circ. Como todos os ângulos são iguais em um polígono regular, cada ângulo interno vale
\text{ângulo interno}=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.â
Explicando em palavras: a soma (n-2)\cdot180^\circ vem de dividir o polígono em (n-2) triângulos, cada um com 180^\circ.
Agora aplico para cada caso:
  • Triângulo equilátero: n=3. Então
i_{1}=\frac{(3-2)\cdot180^\circ}{3}=\frac{1\cdot180^\circ}{3}=60^\circ.
  • Quadrado: n=4. Então
i_{2}=\frac{(4-2)\cdot180^\circ}{4}=\frac{2\cdot180^\circ}{4}=\frac{360^\circ}{4}=90^\circ.
  • Hexágono regular: n=6. Então
i_{3}=\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=\frac{4\cdot180^\circ}{6}=\frac{720^\circ}{6}=120^\circ.

Passo 3

Usar os valores de i_{1},i_{2},i_{3} para calcular i_{4}.
Primeiro calcule a diferença:
i_{3}-i_{2}=120^\circ-90^\circ=30^\circ.
Agora a razão:
\frac{i_{3}-i_{2}}{i_{1}}=\frac{30^\circ}{60^\circ}=\frac{1}{2}.
Finalmente,
i_{4}=90^\circ\times\frac{1}{2}=45^\circ.

Passo 4

Calcular o complemento de i_{4} (em graus) e preparar para converter para grados (gon).
Por definição, complemento de i_{4} é o ângulo que somado a i_{4} 90^\circ. Logo, em graus:
\text{complemento} = 90^\circ - i_{4}=90^\circ-45^\circ=45^\circ.

Passo 5

Converter o complemento, que é 45^\circ, para grados (gon).
Usar a equivalência dada: 90^\circ = 100\\ \text{gon}. Portanto a relação de conversão é
1^\circ = \frac{100}{90}\\ \text{gon}=\frac{10}{9}\\ \text{gon}.
Multiplicando:
45^\circ = 45\times\frac{10}{9}\\ \text{gon}=\frac{450}{9}\\ \text{gon}=50\\ \text{gon}.
Portanto a medida do complemento de i_{4}, em grados, é 50\\ \text{gon}.

Resposta

50\\ \text{gon}

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