((AOCP - 2019, PARAÍBA) Uma medida de ângulo pouco utilizada na matemática é o grado: unidade de arco que equivale à centésima parte de um quadrante e sua representação é gon. Assim, valem as equivalências:
-
gon;
-
gon;
-
gon;
-
gon.
Considere um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular. Indicando a medida do ângulo interno do triângulo equilátero por
, a medida do ângulo interno do quadrado por
e a medida do ângulo interno do hexágono por
, encontre o valor do ângulo
. Após encontrá-lo, é correto afirmar que a medida do complemento do ângulo
, em grados, será igual a
(a) 50 gon.
(b) 40 gon.
(c) 70 gon.
(a) 50 gon.
(b) 40 gon.
(c) 70 gon.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado fornece equivalências entre graus e grados (gon):
- Temos três polígonos regulares e as medidas dos ângulos internos são indicadas por:
- Define-se o ângulo
- O que o exercício pede:
- Calcular
a partir dos dados pelos polígonos regulares. - Encontrar a medida do complemento de
, mas expressa em grados (gon).
- Calcular
- Observação: "complemento de
" significa o ângulo que somado a dá .
Passo 2
Calcular as medidas dos ângulos internos dos polígonos regulares dados.
Primeiro, lembrando (aqui explico a fórmula usada): para um polígono regular de
lados, a soma dos ângulos internos é
. Como todos os ângulos são iguais em um polígono regular, cada ângulo interno vale
Explicando em palavras: a soma
vem de dividir o polígono em
triângulos, cada um com
.
Agora aplico para cada caso:
- Triângulo equilátero:
. Então
- Quadrado:
. Então
- Hexágono regular:
. Então
Passo 3
Usar os valores de
para calcular
.
Primeiro calcule a diferença:
Agora a razão:
Finalmente,
Passo 4
Calcular o complemento de
(em graus) e preparar para converter para grados (gon).
Por definição, complemento de
é o ângulo que somado a
dá
. Logo, em graus:
Passo 5
Converter o complemento, que é
, para grados (gon).
Usar a equivalência dada:
. Portanto a relação de conversão é
Multiplicando:
Portanto a medida do complemento de
, em grados, é
.