(IBFC, 2012 - PARAÍBA) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede
. A área desse hexágono é igual a:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado fornece um hexágono regular inscrito numa circunferência e diz que o apótema mede
. O que se pede é a área desse hexágono — e as alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes dadas:
- Apótema do hexágono:
. - Hexágono é regular (todos os lados iguais, todos os ângulos centrais iguais).
Passo 2
Vamos entender a geometria: um hexágono regular pode ser dividido em
triângulos congruentes com vértice no centro. Cada um desses triângulos é um triângulo equilátero quando conectado lado a lado no hexágono, mas, para relacionar apótema e lado, é útil olhar para a metade de um desses triângulos (um triângulo retângulo de
-
-
).
Seja
o comprimento do lado do hexágono. Ao traçar a apótema, ela é a altura desses triângulos isósceles que têm base
. Essa altura divide a base em dois segmentos de comprimento
e forma um triângulo retângulo cuja:
- hipotenusa é o raio
(do círculo circunscrito), - cateto adjacente ao ângulo de
é a apótema , - cateto oposto ao ângulo de
é .
Na trigonometria do triângulo retângulo com ângulo
vale
. Então:
Como
, temos:
Passo 3
Isolando
na equação anterior:
Agora substituímos
:
Portanto o lado do hexágono é
.
Passo 4
Agora precisamos da área do hexágono. Duas maneiras simples:
- Área do hexágono =
vezes a área de um triângulo equilátero de lado . - Área do hexágono =
, onde é o perímetro e o apótema (fórmula geral para polígono regular).
Vou usar a decomposição em triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero de lado
é
Isso vem de: altura do triângulo
e área
altura
.
Portanto a área do hexágono é
Passo 5
Substituímos
na fórmula:
Calcule
. Assim
Resposta
(c)