(IBFC, 2012 - PARAÍBA) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}. A área desse hexágono é igual a:
(a) 48 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
(b) 432 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}
(c) 216 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado fornece um hexágono regular inscrito numa circunferência e diz que o apótema mede 6\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}. O que se pede é a área desse hexágono — e as alternativas são:
(a) 48\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2
(b) 432\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2
(c) 216\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2
Informações relevantes dadas:
  • Apótema do hexágono: a = 6\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
  • Hexágono é regular (todos os lados iguais, todos os ângulos centrais iguais).

Passo 2

Vamos entender a geometria: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos congruentes com vértice no centro. Cada um desses triângulos é um triângulo equilátero quando conectado lado a lado no hexágono, mas, para relacionar apótema e lado, é útil olhar para a metade de um desses triângulos (um triângulo retângulo de 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ).
Seja s o comprimento do lado do hexágono. Ao traçar a apótema, ela é a altura desses triângulos isósceles que têm base s. Essa altura divide a base em dois segmentos de comprimento s/2 e forma um triângulo retângulo cuja:
  • hipotenusa é o raio R (do círculo circunscrito),
  • cateto adjacente ao ângulo de 30^\circ é a apótema a,
  • cateto oposto ao ângulo de 30^\circ é s/2.
Na trigonometria do triângulo retângulo com ângulo 30^\circ vale \tan 30^\circ = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}. Então:
\tan 30^\circ = \dfrac{s/2}{a}.
Como \tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, temos:
\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{s/2}{a}.

Passo 3

Isolando s na equação anterior:
\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{s}{2a} \quad\Longrightarrow\quad s = 2a\cdot\dfrac{1}{1/\sqrt{3}} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}.
Agora substituímos a = 6\sqrt{3}:
s = \dfrac{2\cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12\\ \mathrm{cm}.
Portanto o lado do hexágono é s = 12\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Agora precisamos da área do hexágono. Duas maneiras simples:
  • Área do hexágono = 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado s.
  • Área do hexágono = \dfrac{P\cdot a}{2}, onde P é o perímetro e a o apótema (fórmula geral para polígono regular).
Vou usar a decomposição em triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero de lado s é
\text{Área}_{\triangle} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,s^2.Á
Isso vem de: altura do triângulo = \dfrac{\sqrt{3}}{2}s e área = \dfrac{1}{2}\cdot s\cdotaltura = \dfrac{1}{2}\cdot s\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}s = \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2.
Portanto a área do hexágono é
\text{Área}_{\text{hex}} = 6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,s^2 = \dfrac{6\sqrt{3}}{4}\,s^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,s^2.Á

Passo 5

Substituímos s=12 na fórmula:
s^2 = 12^2 = 144.
\text{Área}_{\text{hex}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 144.Á
Calcule \dfrac{3}{2}\cdot 144 = 3\cdot 72 = 216. Assim
\text{Área}_{\text{hex}} = 216\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.Á

Resposta

(c) 216\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2

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