(FGV 2023) Um retângulo
tem seus vértices associados a pares ordenados do plano cartesiano. São dadas as coordenadas de três desses vértices:
e
, em que
e
são opostos. Um novo retângulo
é obtido por meio da rotação de
de
, no sentido anti-horário, em relação à origem. Em seguida, um novo retângulo
é obtido através da reflexão de
, em relação ao eixo das ordenadas. A área da região correspondente a
em unidades de área, é igual a
(a) 4 .
(b) 12 .
(c) 16 .
(d) 20 .
(a) 4 .
(b) 12 .
(c) 16 .
(d) 20 .
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas de três vértices de um retângulo
:
Está dito que
e
são vértices opostos. Depois aplica-se duas transformações a
:
- Rotação de
no sentido anti-horário em torno da origem, obtendo . - Reflexão de
em relação ao eixo das ordenadas (eixo ), obtendo .
A pergunta é: qual é a área da região correspondente a
(a união dos dois retângulos), em unidades de área?
Informações relevantes fornecidas:
- Coordenadas de
conforme acima. -
e são opostos — isso permite determinar o quarto vértice de . - Transformações geométricas (rotação
anti-horária e reflexão no eixo ) são aplicadas sobre todo o retângulo .
Passo 2
Determinar o quarto vértice
de
.
Explicação didática: num retângulo, vértices opostos têm coordenadas que determinam os extremos em
e
. Se
tem
e
, e
tem
e
, então os outros dois vértices têm combinações das abscissas e ordenadas desses pontos.
Assim, os vértices possíveis são:
-
(dado), -
(dado), -
(dado), -
(o quarto vértice, combinando de com de ).
Portanto
.
Passo 3
Calcular a área de
.
Explicação didática: Área de um retângulo é largura vezes altura. Podemos obter largura como diferença nas abscissas e altura como diferença nas ordenadas entre vértices apropriados.
Largura (diferença em
) entre
e
:
Altura (diferença em
) entre
e
:
Logo a área de
é
Passo 4
Aplicar a rotação de
anti-horária em torno da origem para obter
. Calcular as imagens dos vértices.
Explicação didática da fórmula de rotação: Rotacionar um ponto
por um ângulo
em torno da origem dá a fórmula
Para
temos
e
, portanto
Ou seja, a rotação de
anti-horária transforma cada ponto
em
.
Aplicando essa fórmula aos vértices de
:
-
vai para
-
vai para
-
vai para
-
vai para
Assim
tem vértices em
. Note que isso descreve um retângulo com
variando de
a
e
variando de
a
.
Passo 5
Refletir
em relação ao eixo das ordenadas (eixo
) para obter
. Calcular as imagens dos vértices.
Explicação didática da reflexão: A reflexão em relação ao eixo
envia
para
— a abscissa muda de sinal, a ordenada fica igual.
Aplicando isso aos vértices de
:
-
vai para
-
vai para
-
vai para
-
vai para
Portanto
tem vértices em
. Isso descreve um retângulo com
variando de
a
e
variando de
a
.
Passo 6
Calcular a área de
.
Usando largura =
e altura =
, a área é
Passo 7
Encontrar a interseção
, para depois calcular a área da união.
Explicação didática: Para retângulos cujos lados são paralelos aos eixos coordenados, a interseção (se existir) é outro retângulo cujas projeções em
e em
são as interseções dos intervalos correspondentes.
Intervalo em
para
: de
a
.
Intervalo em para
: de
a
.
A interseção em é o intervalo de
a
(pois
está dentro de
).
Intervalo em
A interseção em
Intervalo em
para
: de
a
.
Intervalo em para
: de
a
.
A interseção em é o intervalo de
a
.
Intervalo em
A interseção em
Logo a interseção
é o retângulo com
de
a
e
de
a
, cujas dimensões são largura
e altura
. Assim a área da interseção é
Passo 8
Calcular a área da união
.
Explicação didática: Fórmula de área da união de dois conjuntos finitos (no caso retângulos):
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
(d)