(FGV 2023) Um retângulo R 1 tem seus vértices associados a pares ordenados do plano cartesiano. São dadas as coordenadas de três desses vértices: A(1,1) ; B(1,3) e C(7,3), em que A e C são opostos. Um novo retângulo R_{2} é obtido por meio da rotação de 90^{\circ} de R_{1}, no sentido anti-horário, em relação à origem. Em seguida, um novo retângulo R_{3} é obtido através da reflexão de R_{2}, em relação ao eixo das ordenadas. A área da região correspondente a R_{1} \cup R_{3} em unidades de área, é igual a
(a) 4 .
(b) 12 .
(c) 16 .
(d) 20 .

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas de três vértices de um retângulo R_{1}:
  • A(1,1)
  • B(1,3)
  • C(7,3)
Está dito que A e C são vértices opostos. Depois aplica-se duas transformações a R_{1}:
  1. Rotação de 90^\circ no sentido anti-horário em torno da origem, obtendo R_{2}.
  2. Reflexão de R_{2} em relação ao eixo das ordenadas (eixo y), obtendo R_{3}.
A pergunta é: qual é a área da região correspondente a R_{1}\cup R_{3} (a união dos dois retângulos), em unidades de área?
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas de A,B,C conforme acima.
  • A e C são opostos — isso permite determinar o quarto vértice de R_{1}.
  • Transformações geométricas (rotação 90^\circ anti-horária e reflexão no eixo y) são aplicadas sobre todo o retângulo R_{1}.

Passo 2

Determinar o quarto vértice D de R_{1}.
Explicação didática: num retângulo, vértices opostos têm coordenadas que determinam os extremos em x e y. Se A tem x=1 e y=1, e C tem x=7 e y=3, então os outros dois vértices têm combinações das abscissas e ordenadas desses pontos.
Assim, os vértices possíveis são:
  • A(1,1) (dado),
  • B(1,3) (dado),
  • C(7,3) (dado),
  • D(7,1) (o quarto vértice, combinando x de C com y de A).
Portanto D(7,1).

Passo 3

Calcular a área de R_{1}.
Explicação didática: Área de um retângulo é largura vezes altura. Podemos obter largura como diferença nas abscissas e altura como diferença nas ordenadas entre vértices apropriados.
Largura (diferença em x) entre x=1 e x=7:
\text{largura} = 7-1 = 6.
Altura (diferença em y) entre y=1 e y=3:
\text{altura} = 3-1 = 2.
Logo a área de R_{1} é
\text{área}(R_{1}) = 6 \times 2 = 12.á

Passo 4

Aplicar a rotação de 90^\circ anti-horária em torno da origem para obter R_{2}. Calcular as imagens dos vértices.
Explicação didática da fórmula de rotação: Rotacionar um ponto (x,y) por um ângulo \theta em torno da origem dá a fórmula
(x',y') = (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta).
Para \theta=90^\circ temos \cos90^\circ=0 e \sin90^\circ=1, portanto
(x',y') = (-y,\; x).
Ou seja, a rotação de 90^\circ anti-horária transforma cada ponto (x,y) em (-y,x).
Aplicando essa fórmula aos vértices de R_{1}:
  • A(1,1) vai para
A_{2} = (-1,\,1).
  • B(1,3) vai para
B_{2} = (-3,\,1).
  • C(7,3) vai para
C_{2} = (-3,\,7).
  • D(7,1) vai para
D_{2} = (-1,\,7).
Assim R_{2} tem vértices em (-1,1),(-3,1),(-3,7),(-1,7). Note que isso descreve um retângulo com x variando de -3 a -1 e y variando de 1 a 7.

Passo 5

Refletir R_{2} em relação ao eixo das ordenadas (eixo y) para obter R_{3}. Calcular as imagens dos vértices.
Explicação didática da reflexão: A reflexão em relação ao eixo y envia (x,y) para (-x,y) — a abscissa muda de sinal, a ordenada fica igual.
Aplicando isso aos vértices de R_{2}:
  • A_{2}(-1,1) vai para
A_{3} = (1,\,1).
  • B_{2}(-3,1) vai para
B_{3} = (3,\,1).
  • C_{2}(-3,7) vai para
C_{3} = (3,\,7).
  • D_{2}(-1,7) vai para
D_{3} = (1,\,7).
Portanto R_{3} tem vértices em (1,1),(3,1),(3,7),(1,7). Isso descreve um retângulo com x variando de 1 a 3 e y variando de 1 a 7.

Passo 6

Calcular a área de R_{3}.
Usando largura = 3-1 = 2 e altura = 7-1 = 6, a área é
\text{área}(R_{3}) = 2 \times 6 = 12.á

Passo 7

Encontrar a interseção R_{1}\cap R_{3}, para depois calcular a área da união.
Explicação didática: Para retângulos cujos lados são paralelos aos eixos coordenados, a interseção (se existir) é outro retângulo cujas projeções em x e em y são as interseções dos intervalos correspondentes.
Intervalo em x para R_{1}: de 1 a 7.
Intervalo em x para R_{3}: de 1 a 3.
A interseção em x é o intervalo de 1 a 3 (pois 1\le x\le3 está dentro de 1\le x\le7).
Intervalo em y para R_{1}: de 1 a 3.
Intervalo em y para R_{3}: de 1 a 7.
A interseção em y é o intervalo de 1 a 3.
Logo a interseção R_{1}\cap R_{3} é o retângulo com x de 1 a 3 e y de 1 a 3, cujas dimensões são largura =3-1=2 e altura =3-1=2. Assim a área da interseção é
\text{área}(R_{1}\cap R_{3}) = 2 \times 2 = 4.á

Passo 8

Calcular a área da união R_{1}\cup R_{3}.
Explicação didática: Fórmula de área da união de dois conjuntos finitos (no caso retângulos):
\text{área}(R_{1}\cup R_{3}) = \text{área}(R_{1}) + \text{área}(R_{3}) - \text{área}(R_{1}\cap R_{3}).áááá
Substituindo os valores encontrados:
\text{área}(R_{1}\cup R_{3}) = 12 + 12 - 4 = 20.á

Resposta

(d) 20

Exercícios relacionados