Um apartamento foi comprado por \mathrm{R} \ 150.000,00 em determinada data, sendo vendido por R\ 320.000,00 quatro anos depois. Sendo a taxa de inflação no período de 42 \%, determinar a rentabilidade nominal e real anual desta operação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a rentabilidade nominal anual e a rentabilidade real anual da operação de compra e venda do apartamento.
Dados fornecidos:
  • Preço de compra: \mathrm{R}\$\,150{.}000,00.
  • Preço de venda (após 4 anos): \mathrm{R}\$\,320{.}000,00.
  • Taxa de inflação acumulada no período de 4 anos: 42\%, ou seja, fator de inflação acumulado 1{,}42.
    Nada mais foi informado, então usaremos esses dados para calcular as taxas anuais equivalentes.

Passo 2

Entender a rentabilidade nominal anual: é a taxa anual composta r_{\text{nom}} que transforma o preço inicial no preço final em 4 anos. A relação é a da taxa anual composta (CAGR):
(1 + r_{\text{nom}})^4 = \frac{\text{preço final}}{\text{preço inicial}}.çç
Aqui a variável significa:
  • r_{\text{nom}} é a rentabilidade nominal anual (em forma decimal).
  • O expoente 4 é o número de anos.
    Substituindo os valores:
(1 + r_{\text{nom}})^4 = \frac{320{.}000}{150{.}000} = 2{,}133333\ldots
Para isolarmos r_{\text{nom}} tiramos a raiz quarta:
1 + r_{\text{nom}} = \left(2{,}133333\ldots\right)^{1/4}.

Passo 3

Calcular numericamente r_{\text{nom}}. Vamos obter a raiz quarta e subtrair 1:
1 + r_{\text{nom}} \approx 2{,}133333^{1/4} \approx 1{,}20865.
Logo
r_{\text{nom}} \approx 1{,}20865 - 1 = 0{,}20865.
Convertendo para porcentagem:
r_{\text{nom}} \approx 20{,}86\% \text{ ao ano (nominal composta).}

Passo 4

Entender a rentabilidade real anual: é a taxa anual que representa o ganho acima da inflação. Se i é a inflação anual equivalente e r_{\text{real}} é a rentabilidade real anual, vale a relação multiplicativa:
1 + r_{\text{nom}} = (1 + r_{\text{real}})\,(1 + i).
Aqui:
  • r_{\text{nom}} já calculada é a taxa nominal anual composta.
  • i é a taxa de inflação anual equivalente (pois foi dada a inflação acumulada de 4 anos).
    Antes de usar essa relação, precisamos transformar a inflação acumulada de 4 anos ( 1{,}42) em inflação anual equivalente i tal que
(1 + i)^4 = 1{,}42.

Passo 5

Calcular a inflação anual equivalente i:
1 + i = 1{,}42^{1/4} \approx 1{,}09157,
portanto
i \approx 0{,}09157 = 9{,}16\% \text{ ao ano (inflação média anual).}çãé

Passo 6

Isolar r_{\text{real}} na relação multiplicativa:
1 + r_{\text{real}} = \frac{1 + r_{\text{nom}}}{1 + i}.
Substituindo os valores numéricos:
1 + r_{\text{real}} \approx \frac{1{,}20865}{1{,}09157} \approx 1{,}10717.
Logo
r_{\text{real}} \approx 1{,}10717 - 1 = 0{,}10717.
Convertendo para porcentagem:
r_{\text{real}} \approx 10{,}72\% \text{ ao ano (real, acima da inflação).}çã

Resposta

Rentabilidade nominal anual: 20{,}86\%
Rentabilidade real anual: 10{,}72\%

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