Suponha que os índices gerais de preços (IGP) referentes aos seis primeiros meses de determinado ano no Brasil foram:
Data IGP
dez/x5 105,35
jan/x6 107,52
fev/x6 108,01
mar/x6 110,78
abr/x6 112,47
maio/x6 115,67
jun/x6 119,52
a) taxa de inflação dos meses de janeiro, fevereiro e março de x 6;
b) inflação do primeiro trimestre de x6;
c) taxa média mensal de inflação do primeiro trimestre de x 6;
d) taxa de inflação do semestre;
e) se as inflações de julho e agosto de x6 foram, respectivamente, 1,4% e 0,8%, determine o índice de preços que deve vigorar em cada um desses meses.

Passo 1

O enunciado fornece os índices gerais de preços (IGP) para dezembro de x5 e para os seis primeiros meses de x6. As informações relevantes são:
\begin{array}{l|c} \text{Data} & \text{IGP} \\\ \hline \text{dez/}x5 & 105,35\\\ \text{jan/}x6 & 107,52\\\ \text{fev/}x6 & 108,01\\\ \text{mar/}x6 & 110,78\\\ \text{abr/}x6 & 112,47\\\ \text{mai/}x6 & 115,67\\\ \text{jun/}x6 & 119,52 \end{array}
O que o enunciado pede:
a) as taxas de inflação dos meses de janeiro, fevereiro e março de x6;
b) a inflação do primeiro trimestre de x6 (ou seja, inflação acumulada em jan–mar em relação a dez/ x5);
c) a taxa média mensal de inflação do primeiro trimestre de x6 (média que represente o crescimento mensal equivalente);
d) a taxa de inflação do semestre (acumulada de dez/ x5 até jun/ x6);
e) sabendo que as inflações de julho e agosto de x6 foram, respectivamente, 1,4\% e 0,8\%, determinar os índices de preços para julho e agosto.

Passo 2

Fórmula básica e interpretação (aula rápida): para passar do índice de um mês para o próximo usamos o fator de crescimento mensal. A taxa de inflação mensal i_t entre o mês t-1 e o mês t é dada por
i_t = \frac{IGP_t}{IGP_{t-1}} - 1.
Aqui IGP_t é o índice no mês atual e IGP_{t-1} é o índice no mês anterior. Para transformar em porcentagem multiplicamos por 100\%.
Vamos aplicar a fórmula para janeiro, fevereiro e março.
Cálculo para janeiro (taxa entre dez/ x5 e jan/ x6):
i_{\text{jan}}=\frac{IGP_{\text{jan}}}{IGP_{\text{dez}}}-1=\frac{107{,}52}{105{,}35}-1.
Agora a divisão (passo a passo): 107{,}52/105{,}35 \approx 1{,}0205986. Logo
i_{\text{jan}}\approx 1{,}0205986-1=0{,}0205986\quad\text{ou}\quad 2{,}06\%.
Cálculo para fevereiro (taxa entre jan/ x6 e fev/ x6):
i_{\text{fev}}=\frac{108{,}01}{107{,}52}-1.
Fazendo a divisão: 108{,}01/107{,}52 \approx 1{,}0045579. Logo
i_{\text{fev}}\approx 0{,}0045579\quad\text{ou}\quad 0{,}46\%.
Cálculo para março (taxa entre fev/ x6 e mar/ x6):
i_{\text{mar}}=\frac{110{,}78}{108{,}01}-1.
Dividindo: 110{,}78/108{,}01 \approx 1{,}0256485. Logo
i_{\text{mar}}\approx 0{,}0256485\quad\text{ou}\quad 2{,}56\%.
Observação amigável: pense nesses cálculos como multiplicar o índice anterior por 1+i_t para obter o índice atual. Ex.: IGP_{\text{jan}} \approx IGP_{\text{dez}}\times(1+0{,}0205986).

Passo 3

Inflação do primeiro trimestre (acumulada jan–mar em relação a dez/ x5).
Fórmula: inflação acumulada no período é
I_{\text{trim}} = \frac{IGP_{\text{mar}}}{IGP_{\text{dez}}} - 1.
Aplicando:
I_{\text{trim}}=\frac{110{,}78}{105{,}35}-1.
Dividindo: 110{,}78/105{,}35 \approx 1{,}051546. Assim
I_{\text{trim}}\approx 0{,}051546\quad\text{ou}\quad 5{,}15\%.
Explicação didática: isso significa que, do fim de dezembro até o fim de março, o nível geral de preços subiu cerca de 5{,}15\%. Outra forma de ver: o produto dos fatores mensais é (1+i_{\text{jan}})(1+i_{\text{fev}})(1+i_{\text{mar}})=1{,}051546.

Passo 4

Taxa média mensal de inflação do primeiro trimestre (explicando a escolha do método).
Raciocínio: para representar “uma taxa mensal típica” que, aplicada três vezes, gere a inflação trimestral, usamos a média geométrica (não a aritmética). Isso porque os efeitos de inflação se multiplicam mês a mês. Se r é a taxa média mensal equivalente, então
(1+r)^3 = \frac{IGP_{\text{mar}}}{IGP_{\text{dez}}}.
Logo
r = \left(\frac{IGP_{\text{mar}}}{IGP_{\text{dez}}}\right)^{1/3}-1.
Aplicando os números:
r = \left(\frac{110{,}78}{105{,}35}\right)^{1/3}-1 \approx (1{,}051546)^{1/3}-1 \approx 0{,}016904.
Portanto a taxa média mensal equivalente é aproximadamente 0{,}016904 ou 1{,}69\%.
Breve comentário motivador: essa é a taxa que, se repetida todo mês por três meses, resulta exatamente na inflação trimestral acumulada.

Passo 5

Taxa de inflação do semestre (acumulada de dez/ x5 até jun/ x6).
Fórmula:
I_{\text{semestre}} = \frac{IGP_{\text{jun}}}{IGP_{\text{dez}}} - 1.
Aplicando:
I_{\text{semestre}} = \frac{119{,}52}{105{,}35}-1.
Dividindo: 119{,}52/105{,}35 \approx 1{,}134479. Logo
I_{\text{semestre}}\approx 0{,}134479\quad\text{ou}\quad 13{,}45\%.
Interpretação curta: do fim de dezembro até o fim de junho, os preços subiram aproximadamente 13{,}45\%.

Passo 6

Determinar os índices de julho e agosto sabendo as inflações mensais de julho e agosto.
Regra prática: se a taxa de inflação em um mês é i, o índice do mês seguinte é o índice atual multiplicado por 1+i.
Para julho (inflação 1{,}4\% = 0{,}014):
IGP_{\text{jul}} = IGP_{\text{jun}} \times (1+0{,}014) = 119{,}52 \times 1{,}014.
Multiplicando:
IGP_{\text{jul}} \approx 119{,}52 \times 1{,}014 = 121{,}19328 \approx 121{,}19.
Para agosto (inflação 0{,}8\% = 0{,}008), usamos IGP_{\text{jul}} como base:
IGP_{\text{ago}} = IGP_{\text{jul}} \times (1+0{,}008) \approx 121{,}19328 \times 1{,}008.
Multiplicando:
IGP_{\text{ago}} \approx 121{,}19328 \times 1{,}008 = 122{,}16282624 \approx 122{,}16.
Observação didática: sempre aplique a inflação como fator multiplicativo sobre o índice do mês anterior; arredonde os índices finais de acordo com o padrão pedido (aqui usei duas casas decimais).

Resposta

a) janeiro: 2{,}06\%; fevereiro: 0{,}46\%; março: 2{,}56\%
b) inflação do 1.º trimestre: 5{,}15\%
c) taxa média mensal do 1.º trimestre: 1{,}69\%
d) inflação do semestre: 13{,}45\%
e) IGP_{\text{jul}} \approx 121{,}19 \n IGP_{\text{ago}} \approx 122{,}16

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