Apenas duas forças horizontais atuam em um corpo de 3,0 \mathrm{~kg} que pode se mover em um piso sem atrito. Uma força é de 9,0 \mathrm{~N} e aponta para o leste; a outra é de 8,0 \mathrm{~N} e atua 60^{\circ} ao norte do oeste. Qual é o módulo da aceleração do corpo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Massa do corpo: m=3{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Duas forças horizontais atuam no corpo:
    • Uma força de 9{,}0\\ \mathrm{N} apontando para o leste.
    • Outra força de 8{,}0\\ \mathrm{N} atuando 60^\circ ao norte do oeste (peguei essa informação do enunciado).
  • O piso é sem atrito (ou seja, não há força de atrito horizontal).
  • Pergunta: Qual é o módulo da aceleração do corpo? (ou seja, o valor de a em \mathrm{m\;s^{-2}})

Passo 2

Ideia geral e escolha de eixos (aula rápida de vetores): vamos somar vetores força usando componentes. Escolho:
  • eixo x positivo para o leste,
  • eixo y positivo para o norte.
Para decompor um vetor que forma um ângulo com um eixo, usamos seno e cosseno:
  • o cosseno dá a componente na direção do eixo adjacente ao ângulo,
  • o seno dá a componente na direção perpendicular (oposto).
    Ex.: para uma força F com magnitude F e ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x, as componentes são F_x = F\cos\theta e F_y = F\sin\theta. Aqui devemos prestar atenção ao sentido (sinal) das componentes.

Passo 3

Decompondo a força de 9{,}0\\ \mathrm{N} (aponta para o leste):
  • Como ela está exatamente no sentido positivo de x, suas componentes são
F_{1x}=9{,}0\\ \mathrm{N},\qquad F_{1y}=0.

Passo 4

Decompondo a força de 8{,}0\\ \mathrm{N} que é 60^\circ ao norte do oeste:
  • “Oeste” é o sentido negativo de x. “Ao norte do oeste” significa que a componente y é positiva.
  • A componente em x será negativa (pois aponta para oeste) e vale -F\cos60^\circ.
  • A componente em y será positiva e vale +F\sin60^\circ.
Calculando numericamente usando \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
F_{2x} = -8{,}0\cos60^\circ = -8{,}0\cdot\tfrac{1}{2} = -4{,}0\\ \mathrm{N},
F_{2y} = +8{,}0\sin60^\circ = 8{,}0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\\ \mathrm{N}\approx 6{,}93\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Somando componentes para obter a força resultante \vec{F}_{\text{res}}:
F_{\text{res},x}=F_{1x}+F_{2x}=9{,}0+(-4{,}0)=5{,}0\\ \mathrm{N},
F_{\text{res},y}=F_{1y}+F_{2y}=0+4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\\ \mathrm{N}\approx 6{,}93\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Módulo da força resultante (teorema de Pitágoras para componentes ortogonais):
|\vec{F}_{\text{res}}|=\sqrt{F_{\text{res},x}^{2}+F_{\text{res},y}^{2}} =\sqrt{(5{,}0)^{2}+\bigl(4\sqrt{3}\bigr)^{2}} =\sqrt{25+16\cdot3} =\sqrt{73}.
Valor numérico:
|\vec{F}_{\text{res}}|\approx 8{,}54\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Agora aplicamos a segunda lei de Newton (aqui uma mini-aula): a segunda lei diz que a resultante das forças é igual à massa vezes a aceleração,
\vec{F}_{\text{res}}=m\vec{a}.
Como queremos o módulo da aceleração e já temos o módulo da força resultante, basta dividir:
a=\frac{|\vec{F}_{\text{res}}|}{m}=\frac{\sqrt{73}}{3{,}0}\\ \mathrm{m\;s^{-2}}.
Valor numérico:
a\approx\frac{8{,}544}{3{,}0}\approx 2{,}85\\ \mathrm{m\;s^{-2}}.

Resposta

\displaystyle a=\frac{\sqrt{73}}{3{,}0}\\ \mathrm{m\;s^{-2}}\approx 2{,}85\\ \mathrm{m\;s^{-2}}

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