Um loop circular de (4+ ) cm de diâmetro possui uma densidade de carga uniforme de 2,5 \mathrm{nC} / \mathrm{m}. Qual é o potencial num ponto de seu eixo situado (4+2) c m acima do centro do loop?

Passo 1

Enunciado reescrito e dados fornecidos (vou interpretar os parênteses estranhos como vírgulas decimais): \n
  • Um loop circular tem diâmetro 4{,}0\\ \mathrm{cm}. \n
  • A densidade linear de carga é \lambda=2{,}5\\ \mathrm{nC/m}. \n
  • Queremos o potencial elétrico num ponto do eixo do loop situado 4{,}2\\ \mathrm{cm} acima do centro do loop. \n
    Informações numéricas convertidas para o SI (necessárias para cálculo): \n
  • raio do loop a=\dfrac{4{,}0\\ \mathrm{cm}}{2}=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}. \n
  • posição no eixo z=4{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}042\\ \mathrm{m}. \n
  • densidade linear \lambda=2{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}. \n
    O que se pede: calcular o potencial elétrico V no ponto do eixo a distância z do centro do loop.

Passo 2

Ideia física e fórmula de partida: \n
  • O potencial devido a uma carga pontual q a uma distância r é V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q}{r}.
Expliquei: aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \epsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}), q é a carga e r a distância do ponto até a carga. \n
  • Para uma distribuição contínua de carga usamos superposição: somamos (integramos) contribuições elementares \mathrm{d}V de cada elemento de carga \mathrm{d}Q: \mathrm{d}V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}Q}{r}.
Expliquei: \mathrm{d}Q é a carga de um pedacinho do fio carregado, e r é a distância desse pedacinho até o ponto onde queremos o potencial.

Passo 3

Aplicação ao loop circular no eixo: \n
  • Em um ponto do eixo a distância z do centro, todo elemento do anel está à mesma distância \sqrt{a^2+z^2} do ponto (pela simetria). Portanto r=\sqrt{a^2+z^2} é constante ao integrar sobre o anel. \n
  • Assim a integral fica simples: V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\text{anel}}\frac{\mathrm{d}Q}{\sqrt{a^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{a^2+z^2}}\int_{\text{anel}}\mathrm{d}Q.
  • A integral de \mathrm{d}Q sobre todo o anel é a carga total Q do anel. Se a densidade linear é \lambda, então Q=\lambda\cdot\text{comprimento do anel}=\lambda\cdot 2\pi a.

Passo 4

Obtendo a fórmula final em termos de \lambda: \n
  • Substituindo Q=\lambda 2\pi a em V obtemos V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda 2\pi a}{\sqrt{a^2+z^2}}.
  • Simplificando os fatores \pi resulta V=\frac{\lambda a}{2\epsilon_0\sqrt{a^2+z^2}}.
Expliquei cada símbolo: \lambda densidade linear (C/m), a raio do anel (m), z distância ao longo do eixo (m), \epsilon_0 permissividade do vácuo (F/m). Essa expressão diz que o potencial do anel no eixo é o mesmo que se toda a carga estivesse concentrada em um ponto a essa distância efetiva \sqrt{a^2+z^2}, com o fator geométrico apropriado.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo: \n
Dados já convertidos: a=0{,}02\\ \mathrm{m}, z=0{,}042\\ \mathrm{m}, \lambda=2{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}. \n
Calcule o raio efetivo (distância do elemento até o ponto): \sqrt{a^2+z^2}=\sqrt{(0{,}02)^2+(0{,}042)^2}=\sqrt{0{,}0004+0{,}001764}=\sqrt{0{,}002164}=0{,}0465207\\ \mathrm{m}.
Calcule a carga total do anel (opcional, para verificação): Q=\lambda 2\pi a=2{,}5\times10^{-9}\cdot 2\pi\cdot 0{,}02=3{,}14159265\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Agora use a forma com a constante de Coulomb k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}=8{,}98755179\times10^{9}: V=\frac{kQ}{\sqrt{a^2+z^2}}=\frac{8{,}98755179\times10^{9}\cdot 3{,}14159265\times10^{-10}}{0{,}0465207}.
Calcule o numerador: 8{,}98755179\times10^{9}\cdot 3{,}14159265\times10^{-10}=2{,}8243\\ (\text{aprox.}).
Dividindo pelo denominador: V=\frac{2{,}8243}{0{,}0465207}=60{,}7\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: potencial positivo (porque \lambda>0). Valor arredondado coerente com as contas manuais.

Resposta

60{,}7\\ \mathrm{V}

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