O potencial elétrico no ar é dado por \mathrm{V}=5\left(\begin{array}{ll}\mathrm{x} & )^{2}(\mathrm{y}+2)^{2}(\mathrm{z}-4)^{3} \text { volts. }\end{array}\right.
(a) Calcular o vetor campo elétrico \mathbf{E} na orıgem;
(b) Calcular a densidade volumétrica de carga \rho_{\mathrm{v}} na origem.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico no ar
\mathrm{V}=5\,x^{2}(y+2)^{2}(z-4)^{3}\\ \text{volts.}
Pede:
(a) calcular o vetor campo elétrico \mathbf{E} na origem;
(b) calcular a densidade volumétrica de carga \rho_{v} na origem.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathrm{V}(x,y,z)=5\,x^{2}(y+2)^{2}(z-4)^{3}.
A origem corresponde a (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 2

Relação entre potencial e campo elétrico: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Em forma matemática:
\mathbf{E}=-\nabla \mathrm{V}.
Aqui \nabla \mathrm{V} é o vetor das derivadas parciais:
\displaystyle \nabla \mathrm{V}=\left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial x},\;\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial y},\;\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial z}\right).
Regra prática: ao calcular \partial \mathrm{V}/\partial x tratamos y e z como constantes, e similar para as outras variáveis.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Começo por reescrever \mathrm{V} para facilitar:
\mathrm{V}=5\,x^{2}(y+2)^{2}(z-4)^{3}.
Derivando em relação a x (produto onde só x^{2} depende de x):
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial x}=5\cdot 2x\cdot (y+2)^{2}(z-4)^{3}=10x\,(y+2)^{2}(z-4)^{3}.
Derivando em relação a y (só (y+2)^{2} depende de y):
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial y}=5\,x^{2}\cdot 2(y+2)\cdot (z-4)^{3}=10x^{2}(y+2)(z-4)^{3}.
Derivando em relação a z (só (z-4)^{3} depende de z):
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial z}=5\,x^{2}(y+2)^{2}\cdot 3(z-4)^{2}=15x^{2}(y+2)^{2}(z-4)^{2}.
Portanto
\nabla \mathrm{V}=\bigl(10x\,(y+2)^{2}(z-4)^{3},\;10x^{2}(y+2)(z-4)^{3},\;15x^{2}(y+2)^{2}(z-4)^{2}\bigr).

Passo 4

Avaliar \mathbf{E}=-\nabla \mathrm{V} na origem (0,0,0). Primeiro avalio cada parcela no ponto:
(y+2)^{2}\Big|_{(0,0,0)}=(0+2)^{2}=4, \qquad (z-4)^{3}\Big|_{(0,0,0)}=(0-4)^{3}=(-4)^{3}=-64, \qquad x\Big|_{(0,0,0)}=0.
Substituindo nas componentes do gradiente temos:
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial x}\Big|_{(0,0,0)}=10\cdot 0\cdot 4\cdot(-64)=0,
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial y}\Big|_{(0,0,0)}=10\cdot 0^{2}\cdot 2\cdot(-64)=0,
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial z}\Big|_{(0,0,0)}=15\cdot 0^{2}\cdot 4\cdot 16=0.
Logo \nabla \mathrm{V}(0,0,0)=(0,0,0) e, portanto,
\mathbf{E}(0,0,0)=-\nabla \mathrm{V}(0,0,0)=(0,0,0).

Passo 5

Relação entre densidade volumétrica de carga e campo elétrico (equação de Maxwell/Poisson no vácuo/ar):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_{v}}{\varepsilon_{0}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo (ar) e vale \varepsilon_{0}\approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. Como \mathbf{E}=-\nabla\mathrm{V},
\nabla\cdot\mathbf{E}=-\nabla\cdot(\nabla \mathrm{V})=-\nabla^{2}\mathrm{V},
portanto
\rho_{v}=-\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}\mathrm{V}.
Aqui \nabla^{2}\mathrm{V} é o Laplaciano: \nabla^{2}\mathrm{V}=\dfrac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial z^{2}}.

Passo 6

Calcular as derivadas de segunda ordem e o Laplaciano, avaliando na origem.
Já temos as primeiras derivadas; derivamos cada uma novamente:
Da primeira derivada em x:
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial x}=10x\,(y+2)^{2}(z-4)^{3},
\frac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial x^{2}}=10\,(y+2)^{2}(z-4)^{3}.
Avaliação na origem: usar (y+2)^{2}=4 e (z-4)^{3}=-64, assim
\frac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial x^{2}}\Big|_{(0,0,0)}=10\cdot 4\cdot(-64)=10\cdot(-256)=-2560.
Da primeira derivada em y:
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial y}=10x^{2}(y+2)(z-4)^{3},
\frac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial y^{2}}=10x^{2}(z-4)^{3}.
Avaliação na origem (aqui aparece x^{2} que é zero em x=0):
\frac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial y^{2}}\Big|_{(0,0,0)}=10\cdot 0^{2}\cdot(-64)=0.
Da primeira derivada em z:
\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial z}=15x^{2}(y+2)^{2}(z-4)^{2},
\frac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial z^{2}}=30x^{2}(y+2)^{2}(z-4).
Avaliação na origem (novamente há fator x^{2}):
\frac{\partial^{2}\mathrm{V}}{\partial z^{2}}\Big|_{(0,0,0)}=30\cdot 0^{2}\cdot 4\cdot(-4)=0.
Somando para obter o Laplaciano na origem:
\nabla^{2}\mathrm{V}\Big|_{(0,0,0)}=-2560+0+0=-2560.

Passo 7

Calcular \rho_{v} pela fórmula \rho_{v}=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}\mathrm{V}. Substituindo o valor do Laplaciano:
\rho_{v}(0,0,0)=-\varepsilon_{0}\cdot(-2560)=2560\,\varepsilon_{0}.
Se quiser uma aproximação numérica usando \varepsilon_{0}\approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\rho_{v}(0,0,0)\approx 2560\times 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{3}}\approx 2{,}27\times 10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{3}}.

Resposta

(a) \mathbf{E}(0,0,0)=(0,0,0).\n
(b) \rho_{v}(0,0,0)=2560\,\varepsilon_{0}\approx 2{,}27\times 10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{3}}.

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