Um aperfeiçoamento do modelo de Einstein é o modelo de Debye, que proporciona a seguinte expressão para o calor específico molar:
cV=9 R(TTD)^3 integral0^3 y x^4 e^x(e^x-1)^2 d x
em que TD é a temperatura de Debye e y=TD / T. Mostrar que quando T for mito mais elevada do que TD, a expressão se reduz ao resultado de Dulong-Petit, cv approx 3 R. (Sugestão: quando T gg TD, y ll 1 e, então, x ll 1. Pode-se então fazer e^x approx 1+x ). Quando T ll TD, p limite superior da integral é infinitamente grande. A integral definida tem então o valor 4 pi^4 / 15. Mostrar que em temperaturas muito baixas, o calor específico molar é dado por cv=(12 pi^4 / 5) R(T / TD)^3.

Passo 1

O modelo de Debye dá para o calor específico molar a expressão
cV=9,Rl(TTDr)^3 integral0^TD/Tx^4e^x(e^x-1)^2,dx
Queremos dois limites assintóticos:
  1. Para Tgg TD mostrar que cVapprox3R (lei de Dulong–Petit).
  2. Para Tll TD mostrar que
cV=12pi^45,Rl(TTDr)^3
Vamos usar a expansão para xll1 no limite alto e o valor
integral0^inftyx^4e^x(e^x-1)^2,dx=4pi^415
no limite baixo.

Passo 2

Limite alto Tgg TD.
Então ,y=TD/Tll1 e o limite superior da integral é pequeno. Para 0<= x<= yll1 usamos
e^xapprox1+x, e^x-1approx x,
logo
x^4e^x(e^x-1)^2 approx x^4(1+x)x^2 = x^2+x^3 approx x^2
Assim
integral0^yx^4e^x(e^x-1)^2,dx approx integral0^yx^2,dx = y^33 = (TD/T)^33
Substituindo em cV:
cV approx 9,R l(TTDr)^3 (TD/T)^33 = 3,R

Passo 3

Limite baixo Tll TD.
Agora y=TD/Tgg1, logo o limite superior vai a infty. Portanto
cV = 9,Rl(TTDr)^3 integral0^inftyx^4e^x(e^x-1)^2,dx = 9,Rl(TTDr)^3 4pi^415 = 36pi^415,Rl(TTDr)^3 = 12pi^45,Rl(TTDr)^3

Resposta

Para Tgg TD:
cVapprox3,R
Para Tll TD:
cV=12pi^45,Rl(TTDr)^3

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