Um aperfeiçoamento do modelo de Einstein é o modelo de Debye, que proporciona a seguinte expressão para o calor específico molar:
em que
é a temperatura de Debye e
. Mostrar que quando
for mito mais elevada do que
, a expressão se reduz ao resultado de Dulong-Petit,
. (Sugestão: quando
, então,
. Pode-se então fazer
). Quando
, p limite superior da integral é infinitamente grande. A integral definida tem então o valor
. Mostrar que em temperaturas muito baixas, o calor específico molar é dado por
.
Passo 1
O modelo de Debye dá para o calor específico molar a expressão
Queremos dois limites assintóticos:
- Para
mostrar que (lei de Dulong–Petit). - Para
mostrar que
Vamos usar a expansão para
no limite alto e o valor
no limite baixo.
Passo 2
Limite alto
.
Então e o limite superior da integral é pequeno. Para
usamos
Então
logo
Assim
Substituindo em
:
Passo 3
Limite baixo
.
Agora , logo o limite superior vai a
. Portanto
Agora
Resposta
Para
:
Para
: