Apesar de o Sol se encontrar a uma distância média da Terra que é 390 vezes maior do que a distância média entre a Terra e a Lua, a sua massa é tão grande
que, na Terra, a intensidade do seu campo gravitacional (
) é 178 vezes maior do que a intensidade do campo gravitacional da Lua
. Por outro lado, as intensidades das marés produzidas por cada astro estão relacionadas não com as intensidades
e
mas com as variações, ou diferenças, máximas
e
de cada magnitude do campo gravitacional entre extremos opostos do planeta. Levando em conta que o diâmetro da Terra é muito menor do que as distâncias até cada um desses astros, encontre a razão
.
Resposta:
que, na Terra, a intensidade do seu campo gravitacional (
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho para a gente não se perder):
- A distância média Terra–Sol é
vezes a distância média Terra–Lua. Em símbolos: . - No ponto da Terra, a intensidade do campo gravitacional do Sol é
vezes a da Lua. Em símbolos: . - O diâmetro da Terra é muito menor que as distâncias até esses astros (podemos usar aproximação de expansão em série).
- Pede-se a razão entre as variações máximas do campo gravitacional produzidas por cada astro entre extremos opostos da Terra:
.
Passo 2
Intuição física e fórmula aproximada das marés (explicação passo a passo).
- A maré associada a um astro surge porque o campo gravitacional não é exatamente o mesmo na face da Terra mais próxima e na mais afastada: a diferença entre esses extremos é o que puxa (ou empurra) os oceanos. Essa diferença é proporcional ao gradiente (derivada) do campo gravitacional ao longo do raio da Terra.
- O campo gravitacional de um astro de massa
a uma distância é
onde
é a constante gravitacional.
- Considere os dois pontos extremos na linha astro–Terra: um a distância
(lado próximo) e outro a (lado remoto), onde é o raio da Terra. A diferença máxima do campo entre esses extremos é
- Como
, podemos usar expansão em série (Taylor) em torno de . Para uma função ,
onde
.
- Subtraindo os dois termos:
- Calcule
:
- Substituindo em
:
- O importante para comparar dois astros é que
é proporcional a (os fatores são os mesmos para Sol e Lua e vão se cancelar na razão). Assim:
Passo 3
Escrevendo a razão entre as marés dos dois astros usando a proporcionalidade encontrada:
Temos, por outro lado, a relação entre os campos
fornecida no enunciado:
Isolando
desta última:
Passo 4
Substituindo a expressão de
na razão das marés:
Ou seja, a razão simplifica muito bem para
Agora substituímos os números dados:
e
. Portanto
Simplificando a fração:
Arredondando com duas casas decimais, obtemos