Apesar de o Sol se encontrar a uma distância média da Terra que é 390 vezes maior do que a distância média entre a Terra e a Lua, a sua massa é tão grande
que, na Terra, a intensidade do seu campo gravitacional ( g_{S} ) é 178 vezes maior do que a intensidade do campo gravitacional da Lua \left(g_{L}\right). Por outro lado, as intensidades das marés produzidas por cada astro estão relacionadas não com as intensidades g_{S} e g_{L} mas com as variações, ou diferenças, máximas \Delta g_{S} e \Delta g_{L} de cada magnitude do campo gravitacional entre extremos opostos do planeta. Levando em conta que o diâmetro da Terra é muito menor do que as distâncias até cada um desses astros, encontre a razão \Delta g_{S} / \Delta g_{L}.
Resposta: \Delta g_{S} / \Delta g_{L}=0,46

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • A distância média Terra–Sol é 390 vezes a distância média Terra–Lua. Em símbolos: \dfrac{R_{S}}{R_{L}}=390.
  • No ponto da Terra, a intensidade do campo gravitacional do Sol é 178 vezes a da Lua. Em símbolos: \dfrac{g_{S}}{g_{L}}=178.
  • O diâmetro da Terra é muito menor que as distâncias até esses astros (podemos usar aproximação de expansão em série).
  • Pede-se a razão entre as variações máximas do campo gravitacional produzidas por cada astro entre extremos opostos da Terra: \dfrac{\Delta g_{S}}{\Delta g_{L}}.

Passo 2

Intuição física e fórmula aproximada das marés (explicação passo a passo).
  • A maré associada a um astro surge porque o campo gravitacional não é exatamente o mesmo na face da Terra mais próxima e na mais afastada: a diferença entre esses extremos é o que puxa (ou empurra) os oceanos. Essa diferença é proporcional ao gradiente (derivada) do campo gravitacional ao longo do raio da Terra.
  • O campo gravitacional de um astro de massa M a uma distância R é
g(R)=\frac{G\,M}{R^{2}},
onde G é a constante gravitacional.
  • Considere os dois pontos extremos na linha astro–Terra: um a distância R-R_{E} (lado próximo) e outro a R+R_{E} (lado remoto), onde R_{E} é o raio da Terra. A diferença máxima do campo entre esses extremos é
\Delta g \approx g(R-R_{E})-g(R+R_{E}).
  • Como R_{E}\ll R, podemos usar expansão em série (Taylor) em torno de R. Para uma função g(R),
g(R\pm R_{E}) \approx g(R)\pm R_{E}\,g'(R),
onde g'(R)=\dfrac{d}{dR}\!\left(\dfrac{G M}{R^{2}}\right).
  • Subtraindo os dois termos:
\Delta g \approx \bigl(g(R)-R_{E}g'(R)\bigr)-\bigl(g(R)+R_{E}g'(R)\bigr) = -2R_{E}g'(R).
  • Calcule g'(R):
g'(R)=\frac{d}{dR}\left(\frac{G M}{R^{2}}\right) = -2\,\frac{G M}{R^{3}}.
  • Substituindo em \Delta g:
\Delta g \approx -2R_{E}\left(-2\,\frac{G M}{R^{3}}\right) = 4\,\frac{G M\,R_{E}}{R^{3}}.
  • O importante para comparar dois astros é que \Delta g é proporcional a \dfrac{M}{R^{3}} (os fatores 4G R_{E} são os mesmos para Sol e Lua e vão se cancelar na razão). Assim:
\Delta g \propto \frac{M}{R^{3}}.

Passo 3

Escrevendo a razão entre as marés dos dois astros usando a proporcionalidade encontrada:
\frac{\Delta g_{S}}{\Delta g_{L}}=\frac{\bigl(M_{S}/R_{S}^{3}\bigr)}{\bigl(M_{L}/R_{L}^{3}\bigr)}=\frac{M_{S}}{M_{L}}\left(\frac{R_{L}}{R_{S}}\right)^{3}.
Temos, por outro lado, a relação entre os campos g fornecida no enunciado:
\frac{g_{S}}{g_{L}}=\frac{\dfrac{G M_{S}}{R_{S}^{2}}}{\dfrac{G M_{L}}{R_{L}^{2}}}=\frac{M_{S}}{M_{L}}\left(\frac{R_{L}}{R_{S}}\right)^{2}.
Isolando \dfrac{M_{S}}{M_{L}} desta última:
\frac{M_{S}}{M_{L}}=\frac{g_{S}}{g_{L}}\left(\frac{R_{S}}{R_{L}}\right)^{2}.

Passo 4

Substituindo a expressão de \dfrac{M_{S}}{M_{L}} na razão das marés:
\frac{\Delta g_{S}}{\Delta g_{L}} = \left[\frac{g_{S}}{g_{L}}\left(\frac{R_{S}}{R_{L}}\right)^{2}\right]\left(\frac{R_{L}}{R_{S}}\right)^{3} = \frac{g_{S}}{g_{L}}\left(\frac{R_{L}}{R_{S}}\right).
Ou seja, a razão simplifica muito bem para
\frac{\Delta g_{S}}{\Delta g_{L}}=\frac{g_{S}/g_{L}}{R_{S}/R_{L}}.
Agora substituímos os números dados: \dfrac{g_{S}}{g_{L}}=178 e \dfrac{R_{S}}{R_{L}}=390. Portanto
\frac{\Delta g_{S}}{\Delta g_{L}}=\frac{178}{390}.
Simplificando a fração:
\frac{178}{390}=\frac{89}{195}\approx 0,45641\ldots
Arredondando com duas casas decimais, obtemos
\frac{\Delta g_{S}}{\Delta g_{L}}\approx 0,46.

Resposta

\displaystyle \Delta g_{S}/\Delta g_{L}=0,46

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