Duas partículas,
e
, se movem sob a ação da força gravitacional de um planeta hipotético, homogêneo, esférico, sem atmosfera e sem rotação. A partícula
descreve um Movimento Circular Uniforme (M.C.U) numa órbita rente à superfície do planeta e a
descreve um movimento oscilatório, atravessando o planeta de lado a lado, através de um túnel reto que passa pelo centro.
(a) Aplicando o teorema das cascas esféricas, mostre que a força gravitacional sobre a partícula
satisfaz a lei de Hooke (é restauradora do equilíbrio e linear em r) e portanto esta partícula descreve um Movimento Harmônico Simples (M.H.S).
(b) Mostre que o período de rotação
da partícula
coincide com o período de oscilação
da partícula
. Determine o valor deste período para o planeta Terra.
(c) Mostre que o módulo da velocidade
da partícula
coincide com o valor máximo do módulo da velocidade
da partícula
(atingido quando passa pelo centro do planeta). Determine o valor desta velocidade no caso da Terra.
(d) Caso não o tenha já feito, explique estas coincidências a partir da relação entre movimento circular uniforme e movimento harmônico simples.
(a) Aplicando o teorema das cascas esféricas, mostre que a força gravitacional sobre a partícula
(b) Mostre que o período de rotação
(c) Mostre que o módulo da velocidade
(d) Caso não o tenha já feito, explique estas coincidências a partir da relação entre movimento circular uniforme e movimento harmônico simples.
Passo 1
O enunciado pede que se investigue a gravitação dentro e na superfície de um planeta homogêneo, esférico, sem atmosfera e sem rotação, para duas partículas:
- Partícula
: descreve Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) em órbita rente à superfície. - Partícula
: atravessa o planeta por um túnel que passa pelo centro e descreve oscilações de um lado ao outro.
O que é pedido, ponto a ponto:
(a) Mostrar, usando o teorema das cascas esféricas, que a força gravitacional sobre é da forma de Hooke (isto é, é restauradora e linear em
) e portanto
faz Movimento Harmônico Simples (M.H.S.).
(b) Mostrar que o período de rotação de
coincide com o período de oscilação
de
, e calcular numericamente esse período para a Terra.
(c) Mostrar que o módulo da velocidade de
coincide com o valor máximo do módulo da velocidade
de
(quando
passa pelo centro), e calcular numericamente esse valor para a Terra.
(d) Explicar intuitivamente por que essas coincidências acontecem, relacionando M.C.U. e M.H.S.
(a) Mostrar, usando o teorema das cascas esféricas, que a força gravitacional sobre
(b) Mostrar que o período de rotação
(c) Mostrar que o módulo da velocidade
(d) Explicar intuitivamente por que essas coincidências acontecem, relacionando M.C.U. e M.H.S.
Dados que usarei para os cálculos numéricos da Terra (valores padrão):
- massa do planeta:
, - raio do planeta:
, - constante gravitacional:
.
(Em vez de recalcularcada vez, usarei também o parâmetro gravitacional padrão .)
Passo 2
Relembrando o teorema das cascas esféricas (explicação didática curta): para um corpo esférico homogêneo e simétrico:
- A força gravitacional exercida por todas as cascas esféricas externas a um ponto interno se anula (cada casca externa exerce forças que, somadas vetorialmente, dão zero no interior).
- Portanto, a força gravitacional sentida por um ponto a distância
do centro depende somente da massa contida numa esfera de raio (a massa interior) e ignora as cascas externas.
Isso é a razão física pela qual, dentro de uma esfera com densidade constante, pode-se calcular a força usando apenas a massa interior.
Agora aplicamos isso formalmente: densidade uniforme
do planeta é
A massa interior a uma esfera de raio
é
Esse passo é essencial: peguei
a partir da massa total
e do volume, e then substituí para obter
.
Passo 3
Agora calculo a força gravitacional sobre uma partícula de massa
localizada a distância
do centro, com
. Pelas leis de Newton e pelo resultado acima:
Simplificando o
com
,
Interpretação e vínculo com a lei de Hooke:
- A força é da forma
com constante elástica efetiva
- É claramente restauradora (sinal negativo: aponta para o centro) e linear em
. Logo, a equação do movimento para é
ou seja
Isto é exatamente a equação do Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) com pulsação
. Assim
descreve M.H.S.
A partir de
obtemos o período do M.H.S.:
Passo 4
Agora trato a partícula
em órbita circular rente à superfície. Força centrípeta necessária para manter
em órbita de raio
é fornecida pela gravidade na superfície:
Cancelando
e multiplicando ambos os lados por
, obtemos
O período de
(tempo para percorrer a circunferência de raio
) é
Comparando com
encontrado no passo anterior, vemos imediatamente que
Portanto os períodos coincidem, como pedido no item (b).
Passo 5
Agora a velocidade máxima de
. Num M.H.S. com amplitude
e pulsação
, a velocidade máxima é
No nosso problema típico a partícula
oscila de uma superfície ao lado oposto; se a amplitude é
(partícula parte próxima à superfície e atravessa até o outro lado), então
Isto coincide com
encontrado no passo anterior:
(Alternativamente pode-se obter o mesmo resultado por conservação de energia: energia potencial gravitacional dentro da esfera varia quadraticamente com
, e ao chegar ao centro toda a energia potencial convertida dá exatamente a mesma expressão para
.)
Passo 6
Cálculos numéricos para a Terra. Usando
e
:
Cálculo de
:
Primeiro
.
Então
Então
Logo
Cálculo de
:
Portanto, para a Terra:
- período
, - velocidade
.
Passo 7
Explicação física-intuitiva das coincidências (item d): uma forma elegante de ver por que M.C.U. e M.H.S. têm o mesmo período e se relacionam é a interpretação geométrica do M.H.S. como projeção de um M.C.U.:
- Se uma partícula descreve um movimento circular uniforme com velocidade angular
e raio , a projeção da sua posição sobre um diâmetro descreve , que é exatamente a solução do M.H.S. de pulsação . Assim, um M.H.S. pode ser gerado pela projeção de um M.C.U… - No nosso problema, a aceleração (e portanto a força) dentro da esfera é proporcional a
com constante de proporcionalidade ; isto define um círculo imaginário de raio cujo movimento circular projetado sobre um eixo dá precisamente a oscilação de . - A velocidade máxima do M.H.S. (na passagem pelo centro) é
; para isto dá , que é exatamente a velocidade linear necessária para um M.C.U. de raio . Por isso e .
Resumo físico curto: a linearidade da força dentro da esfera transforma o problema em um oscilador harmônico; este oscilador tem a mesma pulsação que um M.C.U. imaginário de raio
, daí as coincidências de período e velocidade máxima.
Resposta
(a)
; é restauradora e linear em
, logo
faz M.H.S.\newline
(b) ; para a Terra
.\newline
(c) ; para a Terra
.\newline
(d) Porque a projeção de um Movimento Circular Uniforme sobre um diâmetro é um Movimento Harmônico Simples; aqui a força linear dentro da esfera gera um oscilador com pulsação , a mesma pulsação que gera o M.C.U. imaginário associado, produzindo períodos e velocidades coincidentes.
(b)
(c)
(d) Porque a projeção de um Movimento Circular Uniforme sobre um diâmetro é um Movimento Harmônico Simples; aqui a força linear dentro da esfera gera um oscilador com pulsação