Duas partículas, A e B, se movem sob a ação da força gravitacional de um planeta hipotético, homogêneo, esférico, sem atmosfera e sem rotação. A partícula A descreve um Movimento Circular Uniforme (M.C.U) numa órbita rente à superfície do planeta e a B descreve um movimento oscilatório, atravessando o planeta de lado a lado, através de um túnel reto que passa pelo centro.
(a) Aplicando o teorema das cascas esféricas, mostre que a força gravitacional sobre a partícula B satisfaz a lei de Hooke (é restauradora do equilíbrio e linear em r) e portanto esta partícula descreve um Movimento Harmônico Simples (M.H.S).
(b) Mostre que o período de rotação T_{A} da partícula A coincide com o período de oscilação T_{B} da partícula B. Determine o valor deste período para o planeta Terra.
(c) Mostre que o módulo da velocidade v_{A} da partícula A coincide com o valor máximo do módulo da velocidade v_{B(\max )} da partícula B (atingido quando passa pelo centro do planeta). Determine o valor desta velocidade no caso da Terra.
(d) Caso não o tenha já feito, explique estas coincidências a partir da relação entre movimento circular uniforme e movimento harmônico simples.

Passo 1

O enunciado pede que se investigue a gravitação dentro e na superfície de um planeta homogêneo, esférico, sem atmosfera e sem rotação, para duas partículas:
  • Partícula A: descreve Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) em órbita rente à superfície.
  • Partícula B: atravessa o planeta por um túnel que passa pelo centro e descreve oscilações de um lado ao outro.
O que é pedido, ponto a ponto:
(a) Mostrar, usando o teorema das cascas esféricas, que a força gravitacional sobre B é da forma de Hooke (isto é, é restauradora e linear em r) e portanto B faz Movimento Harmônico Simples (M.H.S.).
(b) Mostrar que o período de rotação T_{A} de A coincide com o período de oscilação T_{B} de B, e calcular numericamente esse período para a Terra.
(c) Mostrar que o módulo da velocidade v_{A} de A coincide com o valor máximo do módulo da velocidade v_{B(\max)} de B (quando B passa pelo centro), e calcular numericamente esse valor para a Terra.
(d) Explicar intuitivamente por que essas coincidências acontecem, relacionando M.C.U. e M.H.S.
Dados que usarei para os cálculos numéricos da Terra (valores padrão):
  • massa do planeta: M=5{,}972\times10^{24}\\ \mathrm{kg},
  • raio do planeta: R=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m},
  • constante gravitacional: G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
    (Em vez de recalcular G M cada vez, usarei também o parâmetro gravitacional padrão \mu=G M\approx3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.)

Passo 2

Relembrando o teorema das cascas esféricas (explicação didática curta): para um corpo esférico homogêneo e simétrico:
  • A força gravitacional exercida por todas as cascas esféricas externas a um ponto interno se anula (cada casca externa exerce forças que, somadas vetorialmente, dão zero no interior).
  • Portanto, a força gravitacional sentida por um ponto a distância \,r<R do centro depende somente da massa contida numa esfera de raio r (a massa interior) e ignora as cascas externas.
    Isso é a razão física pela qual, dentro de uma esfera com densidade constante, pode-se calcular a força usando apenas a massa interior.
Agora aplicamos isso formalmente: densidade uniforme \rho do planeta é
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
A massa interior a uma esfera de raio r é
M_{\text{int}}=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{M}{R^{3}}\,r^{3}.
Esse passo é essencial: peguei \rho a partir da massa total M e do volume, e then substituí para obter M_{\text{int}}.

Passo 3

Agora calculo a força gravitacional sobre uma partícula de massa m localizada a distância r do centro, com r<R. Pelas leis de Newton e pelo resultado acima:
F(r)= -G\frac{m\,M_{\text{int}}}{r^{2}} = -G\frac{m}{r^{2}}\cdot\frac{M}{R^{3}}\,r^{3}.
Simplificando o r^{2} com r^{3},
F(r) = -\left(\frac{G M m}{R^{3}}\right) r.
Interpretação e vínculo com a lei de Hooke:
  • A força é da forma \,F(r)=-k r com constante elástica efetiva
k=\frac{G M m}{R^{3}}.
  • É claramente restauradora (sinal negativo: aponta para o centro) e linear em r. Logo, a equação do movimento para B é
m\ddot r = -\frac{G M m}{R^{3}}\,r,
ou seja
\ddot r + \omega^{2} r = 0,\qquad \omega^{2}=\frac{G M}{R^{3}}.
Isto é exatamente a equação do Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) com pulsação \omega. Assim B descreve M.H.S.
A partir de \omega obtemos o período do M.H.S.:
T_{B}=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{G M}}.

Passo 4

Agora trato a partícula A em órbita circular rente à superfície. Força centrípeta necessária para manter A em órbita de raio R é fornecida pela gravidade na superfície:
\frac{m v_{A}^{2}}{R}=G\frac{m M}{R^{2}}.
Cancelando m e multiplicando ambos os lados por R, obtemos
v_{A}^{2}=\frac{G M}{R}, \qquad v_{A}=\sqrt{\frac{G M}{R}}.
O período de A (tempo para percorrer a circunferência de raio R) é
T_{A}=\frac{2\pi R}{v_{A}}=2\pi R\Big/\sqrt{\frac{G M}{R}}=2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{G M}}.
Comparando com T_{B} encontrado no passo anterior, vemos imediatamente que
T_{A}=T_{B}.
Portanto os períodos coincidem, como pedido no item (b).

Passo 5

Agora a velocidade máxima de B. Num M.H.S. com amplitude A e pulsação \omega, a velocidade máxima é
v_{\max}=\omega A.
No nosso problema típico a partícula B oscila de uma superfície ao lado oposto; se a amplitude é A=R (partícula parte próxima à superfície e atravessa até o outro lado), então
v_{B(\max)}=\omega R=R\sqrt{\frac{G M}{R^{3}}}=\sqrt{\frac{G M}{R}}.
Isto coincide com v_{A} encontrado no passo anterior:
v_{B(\max)}=v_{A}.
(Alternativamente pode-se obter o mesmo resultado por conservação de energia: energia potencial gravitacional dentro da esfera varia quadraticamente com r, e ao chegar ao centro toda a energia potencial convertida dá exatamente a mesma expressão para v_{\max}.)

Passo 6

Cálculos numéricos para a Terra. Usando \mu=G M\approx3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}} e R=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}:
Cálculo de T:
T=2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{\mu}}.
Primeiro R^{3}\approx(6{,}371\times10^{6})^{3}\approx2{,}58523\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}}.
Então
\frac{R^{3}}{\mu}\approx\frac{2{,}58523\times10^{20}}{3{,}986004418\times10^{14}}\approx6{,}4869\times10^{5}\\ \mathrm{s^{2}}.
Logo
\sqrt{\frac{R^{3}}{\mu}}\approx805{,}41\\ \mathrm{s}, \qquad T=2\pi\cdot805{,}41\\ \mathrm{s}\approx5{,}059\\ \mathrm{s}\approx84{,}32\\ \text{min}.
Cálculo de v:
v=\sqrt{\frac{\mu}{R}}=\sqrt{\frac{3{,}986004418\times10^{14}}{6{,}371\times10^{6}}}\approx7{,}910{,}5\\ \mathrm{m/s}\approx7{,}91\\ \mathrm{km/s}.
Portanto, para a Terra:
  • período T\approx5{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx84{,}3\\ \text{min},
  • velocidade v\approx7{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\approx7{,}91\\ \mathrm{km/s}.

Passo 7

Explicação física-intuitiva das coincidências (item d): uma forma elegante de ver por que M.C.U. e M.H.S. têm o mesmo período e se relacionam é a interpretação geométrica do M.H.S. como projeção de um M.C.U.:
  • Se uma partícula descreve um movimento circular uniforme com velocidade angular \omega e raio A, a projeção da sua posição sobre um diâmetro descreve x(t)=A\cos(\omega t), que é exatamente a solução do M.H.S. de pulsação \omega. Assim, um M.H.S. pode ser gerado pela projeção de um M.C.U…
  • No nosso problema, a aceleração (e portanto a força) dentro da esfera é proporcional a r com constante de proporcionalidade \omega^{2}=G M/R^{3}; isto define um círculo imaginário de raio R cujo movimento circular projetado sobre um eixo dá precisamente a oscilação de B.
  • A velocidade máxima do M.H.S. (na passagem pelo centro) é \omega A; para A=R isto dá \omega R=\sqrt{G M/R}, que é exatamente a velocidade linear necessária para um M.C.U. de raio R. Por isso v_{A}=v_{B(\max)} e T_{A}=T_{B}.
Resumo físico curto: a linearidade da força dentro da esfera transforma o problema em um oscilador harmônico; este oscilador tem a mesma pulsação que um M.C.U. imaginário de raio R, daí as coincidências de período e velocidade máxima.

Resposta

(a) \displaystyle F(r)=-\frac{G M m}{R^{3}}\,r; é restauradora e linear em r, logo B faz M.H.S.\newline
(b) \displaystyle T_{A}=T_{B}=2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{G M}}; para a Terra T\approx5{,}06\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx84{,}3\\ \mathrm{min}.\newline
(c) \displaystyle v_{A}=v_{B(\max)}=\sqrt{\frac{G M}{R}}; para a Terra v\approx7{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\approx7{,}91\\ \mathrm{km/s}.\newline
(d) Porque a projeção de um Movimento Circular Uniforme sobre um diâmetro é um Movimento Harmônico Simples; aqui a força linear dentro da esfera gera um oscilador com pulsação \omega=\sqrt{G M/R^{3}}, a mesma pulsação que gera o M.C.U. imaginário associado, produzindo períodos e velocidades coincidentes.

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