Você pesa
no nível da calçada do lado de fora do Burj Khalifa, na cidade de Dubai, Emirados Árabes Unidos. Suponha que você suba deste nível até o topo desse prédio de 828 m . Quão menos você pesaria lá já que você está ligeiramente mais afastado do centro da Terra?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede que calculemos quanto a sua “peso” diminui ao subir do nível da calçada até o topo do Burj Khalifa (altura
) devido ao fato de ficar mais afastado do centro da Terra.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- massa da pessoa:
. - altura do topo em relação à calçada:
. - raio médio da Terra (valor padrão que usaremos):
. - aceleração da gravidade ao nível da calçada (valor padrão internacional):
.
O que é pedido:
- Calcular quanto menos a pessoa pesaria no topo em comparação com o peso ao nível da calçada. Vou apresentar o resultado em newtons (força) e em “quilogramas-equivalentes” (a massa que corresponderia à diferença de peso sob
), para ficar claro para quem pensa em “kg” no dia a dia.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
- Definição de peso: o peso é a força gravitacional sobre a massa
. Ao nível de uma certa distância do centro da Terra vale, pela lei da gravitação universal de Newton,
onde
é a aceleração da gravidade naquele ponto.
- Gravidade como função da distância ao centro: para distâncias próximas à superfície da Terra, a aceleração gravitacional é dada por
onde
é a constante gravitacional e
é a massa da Terra. Não precisamos do valor separado de
e
porque conhecemos
no nível da calçada e podemos relacionar
a
. Se a distância ao centro na calçada é
e no topo é
, então
- Variação do peso: a diferença de peso entre calçada e topo é
Essa é a expressão exata (dada a aproximação de usar
como raio médio).
Passo 3
Aproximação útil para alturas pequenas: quando
(o que é o caso:
comparado com
), podemos simplificar usando expansão binomial.
Defina
, que é um número pequeno. Então
Para
a expansão de binômio dá
Mantendo apenas o termo linear em
(suficiente aqui porque
é da ordem de
), obtemos
Logo a diminuição aproximada da gravidade é
e a diferença de peso
Esta forma é ótima para calcular na prova rapidamente sem calculadora de alta precisão.
Passo 4
Cálculo numérico (usando a aproximação linear, que é muito precisa aqui).
Primeiro calcule
:
Agora calcule
:
(isto é, a gravidade diminui em cerca de
.)
Agora a diferença de peso em newtons:
Para dar uma sensação mais intuitiva em “kg” (o que o público costuma entender por “peso”), convertemos essa força para uma massa-equivalente dividindo por
:
Passo 5
Breve verificação pela fórmula exata (checagem rápida): usando
substituindo
e fazendo a conta dá praticamente o mesmo valor (diferença em meias unidades do último dígito) porque os termos de ordem
são desprezíveis. Assim a aproximação linear foi adequada e o resultado numérico é confiável.
Passo 6
Interpretação física e comentário motivador
- A diminuição do peso é muito pequena: cerca de
, que corresponde a perder aproximadamente “de peso aparente”. Ou seja, se você pesa na calçada, no topo do Burj Khalifa você “pesaria” aproximadamente em termos de massa-equivalente. - É normal que o efeito seja tão pequeno: o prédio tem apenas algumas centenas de metros frente aos milhares de quilômetros do raio da Terra.