Você pesa 80,0 \mathrm{~kg} no nível da calçada do lado de fora do Burj Khalifa, na cidade de Dubai, Emirados Árabes Unidos. Suponha que você suba deste nível até o topo desse prédio de 828 m . Quão menos você pesaria lá já que você está ligeiramente mais afastado do centro da Terra?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede que calculemos quanto a sua “peso” diminui ao subir do nível da calçada até o topo do Burj Khalifa (altura 828\\ \mathrm{m}) devido ao fato de ficar mais afastado do centro da Terra.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • massa da pessoa: m = 80{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • altura do topo em relação à calçada: h = 828\\ \mathrm{m}.
  • raio médio da Terra (valor padrão que usaremos): R = 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • aceleração da gravidade ao nível da calçada (valor padrão internacional): g_{0} = 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que é pedido:
  • Calcular quanto menos a pessoa pesaria no topo em comparação com o peso ao nível da calçada. Vou apresentar o resultado em newtons (força) e em “quilogramas-equivalentes” (a massa que corresponderia à diferença de peso sob g_0), para ficar claro para quem pensa em “kg” no dia a dia.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo).
  1. Definição de peso: o peso é a força gravitacional sobre a massa m. Ao nível de uma certa distância r do centro da Terra vale, pela lei da gravitação universal de Newton,
W(r) = m\,g(r),
onde g(r) é a aceleração da gravidade naquele ponto.
  1. Gravidade como função da distância ao centro: para distâncias próximas à superfície da Terra, a aceleração gravitacional é dada por
g(r)=\frac{G M}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional e M é a massa da Terra. Não precisamos do valor separado de G e M porque conhecemos g_0=g(R) no nível da calçada e podemos relacionar g(r) a g_0. Se a distância ao centro na calçada é R e no topo é R+h, então
g_{\text{top}} \equiv g(R+h) = g_{0}\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}.
  1. Variação do peso: a diferença de peso entre calçada e topo é
\Delta W \equiv W_{\text{calçada}}-W_{\text{top}} = m\bigl(g_{0}-g_{\text{top}}\bigr) = m g_{0}\left[1-\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}\right].ç
Essa é a expressão exata (dada a aproximação de usar R como raio médio).

Passo 3

Aproximação útil para alturas pequenas: quando h\ll R (o que é o caso: 828\\ \mathrm{m} comparado com 6{,}371{,}000\\ \mathrm{m}), podemos simplificar usando expansão binomial.
Defina \varepsilon=\dfrac{h}{R}, que é um número pequeno. Então
\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2} = \left(\frac{1}{1+\varepsilon}\right)^{2}.
Para |\varepsilon|\ll1 a expansão de binômio dá
\left(1+\varepsilon\right)^{-2} \approx 1 - 2\varepsilon + \text{termos de ordem }\varepsilon^{2}.
Mantendo apenas o termo linear em \varepsilon (suficiente aqui porque \varepsilon é da ordem de 10^{-4}), obtemos
g_{\text{top}} \approx g_{0}(1-2\varepsilon) = g_{0}\left(1-\frac{2h}{R}\right).
Logo a diminuição aproximada da gravidade é
\Delta g \equiv g_{0}-g_{\text{top}} \approx 2g_{0}\frac{h}{R},
e a diferença de peso
\Delta W \approx m\cdot \Delta g \approx 2 m g_{0}\frac{h}{R}.
Esta forma é ótima para calcular na prova rapidamente sem calculadora de alta precisão.

Passo 4

Cálculo numérico (usando a aproximação linear, que é muito precisa aqui).
Primeiro calcule \varepsilon=\dfrac{h}{R}:
\varepsilon=\frac{828}{6{,}371{,}000}\approx 0{,}00012999.
Agora calcule \Delta g \approx 2 g_{0}\varepsilon:
\Delta g \approx 2\cdot 9{,}80665 \cdot 0{,}00012999 \approx 0{,}00255\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(isto é, a gravidade diminui em cerca de 2{,}55\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}.)
Agora a diferença de peso em newtons:
\Delta W \approx m\,\Delta g \approx 80{,}0 \cdot 0{,}00255 \approx 0{,}204\\ \mathrm{N}.
Para dar uma sensação mais intuitiva em “kg” (o que o público costuma entender por “peso”), convertemos essa força para uma massa-equivalente dividindo por g_{0}:
\Delta m_{\text{eq}} = \frac{\Delta W}{g_{0}} \approx \frac{0{,}204}{9{,}80665}\approx 0{,}0208\\ \mathrm{kg} \approx 20{,}8\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Breve verificação pela fórmula exata (checagem rápida): usando
\Delta W = m g_{0}\left[1-\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}\right],
substituindo R+h=6{,}371{,}000+828=6{,}371{,}828\\ \mathrm{m} e fazendo a conta dá praticamente o mesmo valor (diferença em meias unidades do último dígito) porque os termos de ordem \varepsilon^{2} são desprezíveis. Assim a aproximação linear foi adequada e o resultado numérico é confiável.

Passo 6

Interpretação física e comentário motivador
  • A diminuição do peso é muito pequena: cerca de 0{,}204\\ \mathrm{N}, que corresponde a perder aproximadamente 20{,}8\\ \mathrm{g} “de peso aparente”. Ou seja, se você pesa 80{,}0\\ \mathrm{kg} na calçada, no topo do Burj Khalifa você “pesaria” aproximadamente 79{,}9792\\ \mathrm{kg} em termos de massa-equivalente.
  • É normal que o efeito seja tão pequeno: o prédio tem apenas algumas centenas de metros frente aos milhares de quilômetros do raio da Terra.

Resposta

\Delta W \approx 0{,}204\\ \mathrm{N} menos
\Delta m_{\text{eq}} \approx 0{,}0208\\ \mathrm{kg} menos \approx 20{,}8\\ \mathrm{g} menos

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