Uma barra de aço é submetida a um carregamento cíclico tal que \sigma_{\text {max }}=95 \mathrm{kpsi} e \sigma_{\text {min }}=18 \mathrm{kpsi}. Para o material, S_{u t}=130 \mathrm{kpsi}, S_{y}= 83 kpsi , o limite de resistência completamente corrigido é S_{e}= 55 kpsi e \mathrm{f}=0,93 (aquele f todo estilizado). Estime o número de ciclos para falha por fadiga empregando:
O critério de Goodman modificado.

Passo 1

O enunciado pede: estimar o número de ciclos para falha por fadiga empregando o critério de Goodman modificado.
Informações dadas:
\sigma_{\text{max}}=95\\ \text{kpsi},\qquad \sigma_{\text{min}}=18\\ \text{kpsi},
S_{ut}=130\\ \text{kpsi},\qquad S_{y}=83\\ \text{kpsi},
S_{e}=55\\ \text{kpsi},\qquad f=0,93.
Observação sobre uma ambiguidade prática: o enunciado diz que S_e é “completamente corrigido” e também fornece um fator f. Vou adotar a hipótese prática seguinte (explico por que abaixo): vou aplicar o fator f sobre S_e para obter o limite de resistência à fadiga efetivo usado nos cálculos:
S_{e,\text{corr}}=f\cdot S_e.
Se no seu enunciado S_e já estiver efetivamente com todos os fatores aplicados, você pode repetir os cálculos substituindo S_{e,\text{corr}}=S_e. Vou explicitar onde usei S_{e,\text{corr}}.

Passo 2

Calcular as tensões média e alternada (conceito: qualquer carga cíclica pode ser decomposta em uma componente média e uma componente alternante; a componente alternante é a que mais provoca fadiga):
Fórmulas:
\sigma_m=\frac{\sigma_{\max}+\sigma_{\min}}{2},\qquad \sigma_a=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}.
Cálculo numérico:
\sigma_m=\frac{95+18}{2}= \frac{113}{2}=56,5\\ \text{kpsi},
\sigma_a=\frac{95-18}{2}= \frac{77}{2}=38,5\\ \text{kpsi}.

Passo 3

Aplicar o fator f ao limite de resistência à fadiga (conforme a hipótese que fiz):
S_{e,\text{corr}}=f\cdot S_e=0{,}93\cdot 55=51{,}15\\ \text{kpsi}.
Explicação curta: frequentemente S_e é um valor “base” que ainda precisa multiplicadores (acabamento de superfície, tamanho, confiabilidade, etc.). O enunciado deu um f — por segurança, aplicamos aqui como multiplicador de correção.

Passo 4

Verificar se a condição de vida infinita (critério de Goodman modificado para vida infinita) é satisfeita.
Fórmula do critério de Goodman modificado (no formato adimensional):
\frac{\sigma_a}{S_{e,\text{corr}}}+\frac{\sigma_m}{S_{ut}}\le 1
Se o somatório for ≤1, a peça estaria segura para vida infinita (ou pelo menos até o número de ciclos associado ao S_{e,\text{corr}}). Se for >1, não há vida infinita e precisamos estimar N.
Calcular o termo:
\frac{\sigma_a}{S_{e,\text{corr}}}=\frac{38{,}5}{51{,}15}\approx 0{,}752,
\frac{\sigma_m}{S_{ut}}=\frac{56{,}5}{130}\approx 0{,}4346,
\frac{\sigma_a}{S_{e,\text{corr}}}+\frac{\sigma_m}{S_{ut}}\approx 0{,}752+0{,}4346=1{,}1866>1.
Conclusão: não satisfaz o critério de vida infinita. Logo, devemos estimar o número de ciclos até falha (vida finita) usando uma lei S–N (Basquin).

Passo 5

Introduzir a lei empírica de Basquin para fadiga (explicação didática): para muitos metais sob tensões de amplitude \sigma_a e número de ciclos até fratura N, uma relação aproximada é
\sigma_a = C\,N^{\,b},
onde C e b são constantes do material. Para determinar C e b usamos dois pontos conhecidos da curva S–N. Uma prática comum (e razoável quando só se tem S_{ut} e S_e) é usar os pontos:
  • ponto 1: N_1=10^{3} ciclos com \sigma_{a1}\approx 0{,}9\,S_{ut} (valor empírico para altos níveis de tensão de curto prazo);
  • ponto 2: N_2=10^{6} ciclos com \sigma_{a2}=S_{e,\text{corr}} (definição prática do limite de resistência à fadiga sendo associado a 10^{6} ciclos).
Essas escolhas são padrão em muitos exercícios e permitem estimar b e C.

Passo 6

Determinar o expoente b usando os dois pontos (logaritmo de Basquin):
Fórmula:
b=\frac{\ln\!\left(\dfrac{\sigma_{a2}}{\sigma_{a1}}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{N_2}{N_1}\right)}.
Valores numéricos:
\sigma_{a1}=0{,}9\,S_{ut}=0{,}9\cdot130=117\\ \text{kpsi},
\sigma_{a2}=S_{e,\text{corr}}=51{,}15\\ \text{kpsi},
N_1=10^{3},\qquad N_2=10^{6}.
Cálculo:
b=\frac{\ln\!\left(\dfrac{51{,}15}{117}\right)}{\ln\!(10^{6}/10^{3})} =\frac{\ln(0{,}4374359)}{\ln(1000)} =\frac{-0{,}826987}{6{,}907755}\approx -0{,}119664.
Interpretação: b é negativo (como esperado): quanto maior N, menor \sigma_a.

Passo 7

Determinar a constante C. Usando o ponto 1:
C=\frac{\sigma_{a1}}{N_1^{\,b}}.
Cálculo:
C=\frac{117}{(10^{3})^{\, -0{,}119664}}=117\cdot(10^{3})^{\,0{,}119664}.
Calculemos o fator:
(10^{3})^{\,0{,}119664}=\exp\!\big(0{,}119664\ln 10^{3}\big)=\exp(0{,}119664\cdot 6{,}907755)\approx 2{,}286169.
C\approx 117\cdot 2{,}286169\approx 267{,}392.

Passo 8

Determinar N correspondente à nossa tensão alternante real \sigma_a=38{,}5\\ \text{kpsi}.
Resolver a equação de Basquin:
\sigma_a = C\,N^{\,b}\quad\Rightarrow\quad N=\left(\frac{\sigma_a}{C}\right)^{1/b}.
Cálculo numérico:
\frac{\sigma_a}{C}=\frac{38{,}5}{267{,}392}\approx 0{,}143955,
\ln\!\left(\frac{\sigma_a}{C}\right)=\ln(0{,}143955)\approx -1{,}937092.
Como 1/b\approx 1/(-0{,}119664)\approx -8{,}357679, obtemos
\ln N = \frac{\ln(\sigma_a/C)}{b} \approx (-1{,}937092)\times(-8{,}357679)\approx 16{,}18842,
N=\exp(16{,}18842)\approx 1{,}07\times 10^{7}\\ \text{ciclos}.
Interpretação: a estimativa dá cerca de 1{,}07\cdot10^{7} ciclos até falha sob as hipóteses adotadas.

Passo 9

Comentário final e observação prática (curta e motivadora): esta estimativa depende de escolhas empíricas (usar 0{,}9S_{ut} em 10^{3} ciclos e associar S_e a 10^{6} ciclos, além de aplicar o fator f conforme assumi). Se na sua folha de questão S_e já vier totalmente corrigido (sem multiplicar por f), refaça o cálculo substituindo S_{e,\text{corr}}=55\\ \text{kpsi} — isso altera ligeiramente o expoente b e o N, mas o procedimento é o mesmo. Você já tirou a parte difícil: decompor tensão, aplicar Goodman e usar Basquin — abraço, você consegue na prova!

Resposta

N\approx 1{,}07\times 10^{7}\\ \text{ciclos}

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