(
pontos) Um eixo de aço (
) de 60 mm de diâmetro está sujeito aos torques mostrados. Determine:
(a) A tensão de cisalhamento na superficie do eixo entre os pontos
e
pontos).
(b) o ângulo de torção da extremidade
relação a C . Considere
pontos).
(a) A tensão de cisalhamento na superficie do eixo entre os pontos
(b) o ângulo de torção da extremidade
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a tensão de cisalhamento na superfície do eixo entre os pontos
e . - Determinar o ângulo de torção da extremidade
em relação a .
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho:
Importante: o enunciado refere-se a “torques mostrados” (há uma figura com torques e possivelmente comprimentos dos trechos do eixo), mas essa figura não foi enviada. Sem os valores numéricos dos torques aplicados e sem os comprimentos dos trechos do eixo não é possível calcular os valores numéricos finais pedidos. Portanto, abaixo eu vou:
- explicar passo a passo a teoria necessária e como aplicar as fórmulas na prova;
- apresentar as fórmulas finais e os fatores numéricos que dependem apenas de
e ; - mostrar como obter os valores numéricos assim que você souber os torques e comprimentos (ou quando me enviar a figura).
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e diretas):
- Tensão de cisalhamento em um eixo circular sólido submetido a torque:
- Para um torque interno
aplicado em um trecho, a tensão de cisalhamento na superfície (raio externo) é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) em pascal ( ); -
é o torque interno nesse trecho em newton-metro ( ); -
é o raio externo do eixo em metros ( ); -
é o momento polar de inércia da seção (para sólido circular).
- Momento polar de inércia da seção circular sólida:
onde
é o diâmetro (em metros se você quiser
em
). Esse
aparece sempre em problemas de torção de eixo circular.
- Ângulo de torção de um trecho uniforme de comprimento
com torque constante :
onde:
-
é o ângulo de torção em radianos; -
é o módulo de cisalhamento (em ); -
é o comprimento do trecho (em metros).
Se o eixo tem vários trechos com torques possivelmente diferentes, o ângulo total entre dois extremos é a soma das contribuições de cada trecho:
Observação prática: para cada trecho você deve encontrar o torque interno
naquela seção fazendo equilíbrio de torques (por exemplo, cortar o eixo e somar as forças de torção externas de um dos lados).
Passo 3
Calcular
usando
.
Primeiro converto para metros (para trabalhar SI):
Agora o momento polar:
Calculemos passo a passo:
(Se preferir em
:
.)
Passo 4
Fórmula da tensão de cisalhamento na superfície entre
e
:
onde
é o torque interno naquele trecho (obtido por equilíbrio das torques aplicados na figura). Substituindo
e
numéricos:
Calculando o fator numérico:
Portanto, com
em
:
Ex.: se
, então
Passo 5
Fórmula do ângulo de torção entre
e
.
Se o eixo entre
e
for composto por trechos
de comprimentos
e torques internos
(constantes em cada trecho), o ângulo total (em radianos) é
Como neste problema
e
são constantes (e já temos
calculado), podemos precomputar o fator
:
Assim,
Isto significa: multiplique cada torque interno
pelo comprimento correspondente
, some tudo e multiplique por
para obter o ângulo em radianos.
Passo 6
Como obter
e os
(dica prática para a prova):
- Corte o eixo imediatamente à direita da seção entre
e (ou escolha qualquer seção do trecho que você quer analisar). - Faça equilíbrio de torques para a porção à esquerda (ou à direita): some os torques aplicados nessa porção, tomando cuidado com sinais (torque horário negativo, anti-horário positivo ou vice-versa). O resultado será o torque interno
. - Repita para cada trecho se precisar do ângulo total (cada trecho tem o seu
e ). - Não esqueça de converter unidades: torques em
, comprimentos em .
Observação final: sem a figura com os valores e sentidos dos torques e sem os comprimentos
eu não posso fornecer os valores numéricos finais de (a) e (b). As fórmulas e fatores numéricos dependentes apenas de
e
estão acima, então com os torques e comprimentos você calcula direto.
Resposta
(Valores numéricos finais não podem ser calculados porque os torques aplicados e os comprimentos dos trechos, mostrados na figura, não foram fornecidos.)