( \mathbf{4 , 0} pontos) Um eixo de aço ( \mathrm{G}=75 \mathrm{GPa} ) de 60 mm de diâmetro está sujeito aos torques mostrados. Determine:
(a) A tensão de cisalhamento na superficie do eixo entre os pontos A e B(\mathbf{2}, \mathbf{0} pontos).
(b) o ângulo de torção da extremidade A \mathrm{~cm} relação a C . Considere \mathrm{G}=75 \mathrm{GPa}(\mathbf{2 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a tensão de cisalhamento na superfície do eixo entre os pontos A e B.
  2. Determinar o ângulo de torção da extremidade A em relação a C.
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho:
d=60\\ \mathrm{mm},\qquad G=75\\ \mathrm{GPa}.
Importante: o enunciado refere-se a “torques mostrados” (há uma figura com torques e possivelmente comprimentos dos trechos do eixo), mas essa figura não foi enviada. Sem os valores numéricos dos torques aplicados e sem os comprimentos dos trechos do eixo não é possível calcular os valores numéricos finais pedidos. Portanto, abaixo eu vou:
  • explicar passo a passo a teoria necessária e como aplicar as fórmulas na prova;
  • apresentar as fórmulas finais e os fatores numéricos que dependem apenas de d e G;
  • mostrar como obter os valores numéricos assim que você souber os torques e comprimentos (ou quando me enviar a figura).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e diretas):
  1. Tensão de cisalhamento em um eixo circular sólido submetido a torque:
  • Para um torque interno T aplicado em um trecho, a tensão de cisalhamento na superfície (raio externo) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) em pascal ( \mathrm{Pa});
  • T é o torque interno nesse trecho em newton-metro ( \mathrm{N\cdot m});
  • c é o raio externo do eixo em metros ( c=\tfrac{d}{2});
  • J é o momento polar de inércia da seção (para sólido circular).
  1. Momento polar de inércia da seção circular sólida:
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
onde d é o diâmetro (em metros se você quiser J em \mathrm{m^4}). Esse J aparece sempre em problemas de torção de eixo circular.
  1. Ângulo de torção de um trecho uniforme de comprimento L com torque constante T:
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • \varphi é o ângulo de torção em radianos;
  • G é o módulo de cisalhamento (em \mathrm{Pa});
  • L é o comprimento do trecho (em metros).
    Se o eixo tem vários trechos com torques possivelmente diferentes, o ângulo total entre dois extremos é a soma das contribuições de cada trecho:
\phi_{\text{total}}=\sum_{i}\frac{T_i\,L_i}{G\,J_i}.
Observação prática: para cada trecho você deve encontrar o torque interno T_i naquela seção fazendo equilíbrio de torques (por exemplo, cortar o eixo e somar as forças de torção externas de um dos lados).

Passo 3

Calcular J usando d=60\\ \mathrm{mm}.
Primeiro converto para metros (para trabalhar SI):
d=60\\ \mathrm{mm}=0{,}060\\ \mathrm{m},\qquad c=\frac{d}{2}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
Agora o momento polar:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi (0{,}060)^{4}}{32}.
Calculemos passo a passo:
(0{,}060)^{2}=0{,}0036,\qquad (0{,}060)^{4}=(0{,}0036)^{2}=0{,}00001296.
J=\frac{\pi\cdot 0{,}00001296}{32}\approx\frac{3{,}14159265\cdot 0{,}00001296}{32}\approx 1{,}272\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
(Se preferir em \mathrm{mm^4}: J\approx 1{,}272\times 10^{6}\\ \mathrm{mm^4}.)

Passo 4

Fórmula da tensão de cisalhamento na superfície entre A e B:
\tau_{\text{surf}}=\frac{T_{AB}\,c}{J},
onde T_{AB} é o torque interno naquele trecho (obtido por equilíbrio das torques aplicados na figura). Substituindo c e J numéricos:
\tau_{\text{surf}}=\frac{T_{AB}\cdot 0{,}03}{1{,}272\times 10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}.
Calculando o fator numérico:
\frac{0{,}03}{1{,}272\times 10^{-6}}\approx 2{,}3585\times 10^{4}.
Portanto, com T_{AB} em \mathrm{N\cdot m}:
\boxed{\\ \tau_{\text{surf}}\\ (\mathrm{Pa}) \approx 2{,}3585\times 10^{4}\;T_{AB}\\ (\mathrm{N\cdot m})\\ }.
Ex.: se T_{AB}=1{,}0\\ \mathrm{kN\cdot m}=1000\\ \mathrm{N\cdot m}, então \tau_{\text{surf}}\approx 2{,}3585\times 10^{7}\\ \mathrm{Pa}=23{,}6\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Fórmula do ângulo de torção entre A e C.
Se o eixo entre A e C for composto por trechos i de comprimentos L_i e torques internos T_i (constantes em cada trecho), o ângulo total (em radianos) é
\phi_{A\text{ em relação a }C}=\sum_{i}\frac{T_{i}\,L_{i}}{G\,J}.çã
Como neste problema G e J são constantes (e já temos J calculado), podemos precomputar o fator 1/(GJ):
G=75\\ \mathrm{GPa}=75\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
GJ=75\times 10^{9}\times 1{,}272\times 10^{-6}=9{,}54\times 10^{4}.
\frac{1}{GJ}\approx 1{,}048\times 10^{-5}\\ \mathrm{(rad/(N\cdot m\cdot m))}.
Assim,
\boxed{\\ \phi_{A/C}\\ (\mathrm{rad}) \approx 1{,}048\times 10^{-5}\\ \sum_{i} T_i\\ (\mathrm{N\cdot m})\;L_i\\ (\mathrm{m})\\ }.
Isto significa: multiplique cada torque interno T_i pelo comprimento correspondente L_i, some tudo e multiplique por 1{,}048\times 10^{-5} para obter o ângulo em radianos.

Passo 6

Como obter T_{AB} e os T_i (dica prática para a prova):
  • Corte o eixo imediatamente à direita da seção entre A e B (ou escolha qualquer seção do trecho que você quer analisar).
  • Faça equilíbrio de torques para a porção à esquerda (ou à direita): some os torques aplicados nessa porção, tomando cuidado com sinais (torque horário negativo, anti-horário positivo ou vice-versa). O resultado será o torque interno T_{AB}.
  • Repita para cada trecho se precisar do ângulo total (cada trecho tem o seu T_i e L_i).
  • Não esqueça de converter unidades: torques em \mathrm{N\cdot m}, comprimentos em \mathrm{m}.
Observação final: sem a figura com os valores e sentidos dos torques e sem os comprimentos L_i eu não posso fornecer os valores numéricos finais de (a) e (b). As fórmulas e fatores numéricos dependentes apenas de d e G estão acima, então com os torques e comprimentos você calcula direto.

Resposta

\tau_{\text{surf}}=\dfrac{T_{AB}\,c}{J}=\dfrac{T_{AB}\cdot 0{,}03}{1{,}272\times 10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}\approx 2{,}3585\times 10^{4}\;T_{AB}\\ (\mathrm{Pa\\ per\\ N\cdot m})
\phi_{A/C}=\displaystyle\sum_{i}\frac{T_i\,L_i}{GJ}\approx 1{,}048\times 10^{-5}\displaystyle\sum_{i}T_i\\ (\mathrm{N\cdot m})\;L_i\\ (\mathrm{m})\\ \mathrm{rad}.
(Valores numéricos finais não podem ser calculados porque os torques aplicados e os comprimentos dos trechos, mostrados na figura, não foram fornecidos.)

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