Aplica-se uma tensão de 220 \mathrm{~V}, 50 \mathrm{~Hz} à série de uma resistência de 30 \Omega com uma indutância de 0,16 H. Calcular:
a) A impedância do circuito.
b) A intensidade da corrente.
c) A tensão nos terminais da resistência e da bobina.
d) O ângulo de defasamento.
e) Construa o gráfico da corrente e das tensões versus tempo.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Tensão aplicada: \,220\\ \mathrm{V} (valor eficaz) e frequência \,50\\ \mathrm{Hz}.
    • Resistência: \,30\\ \Omega.
    • Indutância: \,0{,}16\\ \mathrm{H}.
  • O enunciado pede:
    a) A impedância do circuito.
    b) A intensidade da corrente.
    c) A tensão nos terminais da resistência e da bobina (valores eficazes e picos).
    d) O ângulo de defasamento entre tensão e corrente.
    e) Construir o gráfico da corrente e das tensões versus tempo (ou seja, as expressões no domínio do tempo e indicação de como desenhá-las).

Passo 2

Calcular a frequência angular \omega e explicar o porquê.
  • Definição e porquê: para circuitos com indutor usamos a frequência angular \omega=2\pi f, porque as grandezas seno/ cosseno aparecem com argumento \omega t. Aqui f é a frequência em hertz.
  • Cálculo: \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 50 = 100\pi \approx 314{,}16\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular a reatância indutiva X_L e explicar o conceito.
  • Conceito: a reatância indutiva \,X_L mede a oposição do indutor à corrente em regime senoidal; vale \,X_L=\omega L.
  • Cálculo: X_L=\omega L = (100\pi)\cdot 0{,}16 = 16\pi \approx 50{,}27\\ \Omega.
  • Interpretação rápida: X_L é semelhante a uma “resistência” dependente de frequência — quanto maior a frequência, maior a oposição do indutor.

Passo 4

Determinar a impedância complexa \,Z (forma fasorial) e sua magnitude/ângulo.
  • Em série, a impedância de uma resistência R e uma indutância L é Z = R + jX_L,onde j é a unidade imaginária (fase de +90^\circ para a reatância indutiva).
  • Substituindo: Z = 30 + j\,50{,}27\\ \Omega.
  • Magnitude da impedância (valor eficaz usado em Ohm): |Z|=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{30^2 + 50{,}27^2}\approx 58{,}56\\ \Omega.
  • Ângulo da impedância (argumento do fasor), que também é o ângulo de defasamento entre tensão aplicada e corrente: \varphi = \arctan\!\left(\frac{X_L}{R}\right)=\arctan\!\left(\frac{50{,}27}{30}\right)\approx 59{,}17^\circ\approx 1{,}033\\ \text{rad}.

Passo 5

Calcular a intensidade da corrente (valor eficaz e pico) e explicar a relação fasorial V=ZI.
  • Relação fasorial/resumida: para tensão eficaz \,V_{\text{rms}} e impedância |Z|, I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{|Z|}.
  • Cálculo do valor eficaz: I_{\text{rms}}=\frac{220}{58{,}56}\approx 3{,}76\\ \mathrm{A}.
  • Valor de pico (amplitude) da corrente: I_m = \sqrt{2}\,I_{\text{rms}}\approx 1{,}4142\cdot 3{,}76 \approx 5{,}31\\ \mathrm{A}.
  • Interpretação: a corrente é menor que sem indutância, porque a reatância aumenta a impedância total.

Passo 6

Calcular as tensões nos terminais da resistência e do indutor (valores eficazes e amplitudes) e explicar por que se usa V=I\cdot R, V=I\cdot X_L.
  • Em série, a mesma corrente percorre R e L; a queda eficaz em cada elemento é produto da corrente eficaz pela sua “impedância” (resistiva ou reativa).
  • Tensão eficaz na resistência: V_{R,\text{rms}} = I_{\text{rms}}\cdot R = 3{,}757\cdot 30 \approx 112{,}71\\ \mathrm{V}.
  • Tensão eficaz na indutância: V_{L,\text{rms}} = I_{\text{rms}}\cdot X_L = 3{,}757\cdot 50{,}27 \approx 188{,}50\\ \mathrm{V}.
  • Amplitudes (picos) correspondentes: V_{R,m}=\sqrt{2}\,V_{R,\text{rms}}\approx 159{,}42\\ \mathrm{V}, \qquad V_{L,m}=\sqrt{2}\,V_{L,\text{rms}}\approx 266{,}71\\ \mathrm{V}.
  • Verificação rápida: as componentes quadráticas satisfazem V_{\text{rms}}^2 \approx V_{R,\text{rms}}^2 + V_{L,\text{rms}}^2, resultando em cerca de 220\\ \mathrm{V} (pequenas diferenças numéricas por arredondamento).

Passo 7

Explicar o ângulo de defasamento fisicamente e apresentar seu valor.
  • Física da defasagem: em um indutor a tensão está adiantada em 90^\circ em relação à corrente; em um resistor tensão e corrente estão em fase. No circuito série RL a tensão total é soma vetorial: por isso a corrente fica atrasada em relação à tensão total por um ângulo \varphi.
  • Valor já calculado: \varphi \approx 59{,}17^\circ \approx 1{,}033\\ \text{rad},ou seja, a corrente “atrasa” a tensão aplicada em \,59{,}17^\circ.

Passo 8

Escrever as expressões no domínio do tempo para a tensão de fonte, corrente, tensão no resistor e tensão no indutor (formas para plotar). Explicar cada termo.
  • Primeiro, amplitude da fonte (pico):
    V_m=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}=\sqrt{2}\cdot 220 \approx 311{,}13\\ \mathrm{V}.
  • Período:
    T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50}=0{,}02\\ \mathrm{s}.
  • Funções temporais (assumindo referência \,v_s(t)=V_m\cos(\omega t)):
    • Tensão da fonte:
      v_s(t)=V_m\cos(\omega t)
      com V_m\approx 311{,}13\\ \mathrm{V} e \omega\approx 314{,}16\\ \mathrm{rad/s}.
    • Corrente (atrasa a fonte de \varphi):
      i(t)=I_m\cos(\omega t - \varphi)
      com I_m\approx 5{,}31\\ \mathrm{A} e \varphi\approx 1{,}033\\ \text{rad}.
    • Tensão no resistor (em fase com a corrente):
      v_R(t)=I_m R \cos(\omega t - \varphi)=V_{R,m}\cos(\omega t - \varphi),
      com V_{R,m}\approx 159{,}42\\ \mathrm{V}.
    • Tensão no indutor (antecipa a corrente em 90^\circ):
      v_L(t)=I_m X_L \cos\!\big(\omega t - \varphi + \tfrac{\pi}{2}\big)=V_{L,m}\cos\!\big(\omega t - \varphi + \tfrac{\pi}{2}\big),
      com V_{L,m}\approx 266{,}71\\ \mathrm{V}.
  • Observação de consistência: soma temporal v_R(t)+v_L(t)=v_s(t) para todo t (é a soma vetorial das componentes com suas fases).

Passo 9

Como desenhar os gráficos (passo a passo prático para a prova) e pontos de verificação.
  • Eixo horizontal: tempo t de 0 a T (um período) com T=0{,}02\\ \mathrm{s}. Divida em octantes (por exemplo T/8) para marcar pontos importantes.
  • Traçar primeiro v_s(t)=311{,}13\cos(314{,}16\,t). Em t=0 tem v_s(0)=311{,}13\\ \mathrm{V}.
  • Traçar i(t)=5{,}31\cos(314{,}16\,t-1{,}033). Em t=0: i(0)=5{,}31\cos(-1{,}033)=5{,}31\cos(1{,}033)\approx 5{,}31\cdot 0{,}515 \approx 2{,}73\\ \mathrm{A}.Note que i(0) é menor que I_m porque está deslocada.
  • Traçar v_R(t)=159{,}42\cos(314{,}16\,t-1{,}033) (mesma fase de i(t)).
  • Traçar v_L(t)=266{,}71\cos(314{,}16\,t-1{,}033+\tfrac{\pi}{2}). Observe que v_L está adiantada em relação a i em \tfrac{\pi}{2} rad (90°); em relação à fonte v_s o adiantamento é \tfrac{\pi}{2}-\varphi\approx 30{,}83^\circ.
  • Verificações numéricas fáceis para marcar pontos:
    • Em t=0: v_s(0)\approx 311{,}13\\ \mathrm{V}, i(0)\approx 2{,}73\\ \mathrm{A}, v_R(0)\approx 81{,}9\\ \mathrm{V}, v_L(0)\approx 229{,}2\\ \mathrm{V}. (Cheque: 81{,}9+229{,}2\approx 311{,}1.)
  • Dicas de desenho: desenhe primeiro a cosseno da fonte; então desenhe a corrente deslocada para a direita por \varphi (pois a corrente atrasa); desenhe v_R com mesma forma/amplitude proporcional e v_L deslocada +90^\circ em relação à corrente.

Passo 10

Resumo rápido dos valores aproximados (credenciais para conferir cálculos durante a prova).
  • \omega\approx 314{,}16\\ \mathrm{rad/s}, \;X_L\approx 50{,}27\\ \Omega.
  • \;Z=30 + j50{,}27\\ \Omega,\quad |Z|\approx 58{,}56\\ \Omega,\quad \varphi\approx 59{,}17^\circ\\ (1{,}033\\ \text{rad}).
  • \;I_{\text{rms}}\approx 3{,}76\\ \mathrm{A},\quad I_m\approx 5{,}31\\ \mathrm{A}.
  • \;V_{R,\text{rms}}\approx 112{,}71\\ \mathrm{V},\;V_{R,m}\approx 159{,}42\\ \mathrm{V}.
  • \;V_{L,\text{rms}}\approx 188{,}50\\ \mathrm{V},\;V_{L,m}\approx 266{,}71\\ \mathrm{V}.

Resposta

a) \;Z=30 + j50{,}27\\ \Omega,\quad |Z|\approx 58{,}56\\ \Omega.
b) \;I_{\text{rms}}\approx 3{,}76\\ \mathrm{A} (pico \;I_m\approx 5{,}31\\ \mathrm{A}).
c) \;V_{R,\text{rms}}\approx 112{,}71\\ \mathrm{V},\;V_{R,m}\approx 159{,}42\\ \mathrm{V}.
\;V_{L,\text{rms}}\approx 188{,}50\\ \mathrm{V},\;V_{L,m}\approx 266{,}71\\ \mathrm{V}.
d) \;\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{X_L}{R}\right)\approx 59{,}17^\circ\approx 1{,}033\\ \text{rad} (a corrente atrasa a tensão).
e) Expressões temporais para plotar (com \omega\approx 314{,}16\\ \mathrm{rad/s} e T=0{,}02\\ \mathrm{s}):
v_s(t)=311{,}13\cos(314{,}16\,t), \qquad i(t)=5{,}31\cos(314{,}16\,t-1{,}033),
v_R(t)=159{,}42\cos(314{,}16\,t-1{,}033), \qquad v_L(t)=266{,}71\cos\!\big(314{,}16\,t-1{,}033+\tfrac{\pi}{2}\big).

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