Um fonte de tensão eficaz de 12 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz}, fase inicial nula, é aplicada aos terminais de um capacitor de 620 \mu \mathrm{~F}.
a) Determine a forma trigonométrica para a tensão aplicada ao capacitor;
b) Determine o valor da reatância desse capacitor;
c) Trace as formas de onda de tensão e corrente nos terminais do capacitor

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listando tudo claramente):
  • Dados fornecidos:
    • Tensão eficaz (rms) aplicada: \,12\\ \mathrm{V}\, a 60\\ \mathrm{Hz}, com fase inicial nula (ou seja, referência de fase igual a zero).
    • Capacitor: C=620\\ \mu\mathrm{F}=620\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Perguntas:
    a) Determinar a forma trigonométrica para a tensão aplicada ao capacitor.
    b) Determinar o valor da reatância desse capacitor.
    c) Traçar (descrever) as formas de onda de tensão e corrente nos terminais do capacitor.

Passo 2

Entender como passar de tensão eficaz (rms) para forma trigonométrica no tempo e em fasor — explicação didática curta e necessária:
  • Quando o enunciado dá a tensão eficaz V_{\mathrm{rms}} de uma senóide, a amplitude (valor de pico) V_m é dada por
V_m = V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • V_{\mathrm{rms}}: tensão eficaz (valor dado no enunciado, \,12\\ \mathrm{V}\,);
  • V_m: amplitude (valor de pico) da senóide.
  • A forma trigonométrica no tempo, escolhendo referência de fase zero, é
v(t)=V_m\cos(\omega t + \varphi_0),
onde \omega=2\pi f é a pulsação e \varphi_0 é a fase inicial (aqui \varphi_0=0).
  • Também é útil usar a representação em fasores (com valores rms): o fasor da tensão é \tilde{V}=V_{\mathrm{rms}}\angle\varphi_0.

Passo 3

Calcular os valores numéricos básicos (passo a passo, sem pular):
  • Cálculo da amplitude (pico) da tensão:
V_m = 12\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
Numericamente:
V_m = 12\sqrt{2}\approx 12\cdot1,41421356 \approx 16,97\\ \mathrm{V}.
  • Cálculo da pulsação:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot60 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376,99\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Resposta da parte (a): escrever explicitamente a forma trigonométrica de v(t) e o fasor correspondente (explicando o porquê):
  • Como \varphi_0=0, a forma trigonométrica no tempo é
v(t)=V_m\cos(\omega t)=16,97\cos\bigl(376,99\,t\bigr)\\ \mathrm{V}.
  • Em fasor (valor rms) a tensão é
\tilde{V}=12\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
Explicação didática: usar V_m na expressão de tempo porque a fórmula v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi) dá o pico; usar \tilde{V} com V_{\mathrm{rms}} para operações com impedâncias em regime senoidal.

Passo 5

Explicar o que é reatância capacitiva e a fórmula que vamos usar (conceito e derivação curta):
  • Reatância capacitiva X_C é a “resistência” ao fluxo de corrente para um capacitor em regime senoidal; sua expressão (módulo) é
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C}.
  • A impedância complexa do capacitor é
Z_C = -\mathrm{j}X_C,
onde \mathrm{j} é a unidade imaginária (usada em elétrica), e o sinal negativo indica que a corrente “antecede” (lead) a tensão por 90^\circ.

Passo 6

Calcular numericamente a reatância passo a passo:
  • Calcular \omega C:
\omega C = (376,99)\cdot(620\times10^{-6}) = 0,233835\\ (\text{sem unidades}).
  • Inverter para obter X_C:
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{0,233835}\approx 4,2759\\ \Omega.
Arredondando de forma prática para uso em prova:
X_C\approx 4,276\\ \Omega.
  • Portanto a impedância do capacitor é
Z_C = -\mathrm{j}\,4,276\\ \Omega.

Passo 7

Encontrar a corrente (fasor e no tempo) e explicar a relação entre corrente e tensão num capacitor (aulas curta e prática):
  • Relação tempo-domain básica: i(t)=C\,\dfrac{dv(t)}{dt}. Isso mostra por que a corrente “antecede” a tensão: derivar uma cosenoide desloca a fase.
  • Em regime senoidal usando fasores, a corrente fasorial é
\tilde{I}=\frac{\tilde{V}}{Z_C}=\frac{12\angle 0^\circ}{-\,\mathrm{j}\,4,276}.
  • Simplificar: dividir por -\mathrm{j} equivale a multiplicar por \mathrm{j} (pois 1/(-\mathrm{j})=\mathrm{j}), ou em termos de fase, acrescenta +90^\circ. Assim o módulo da corrente eficaz é
I_{\mathrm{rms}}=\frac{12}{4,276}\approx 2,806\\ \mathrm{A},
e a fase da corrente é +90^\circ em relação à tensão (corrente adianta a tensão por 90^\circ). Logo
\tilde{I}=2,806\angle 90^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Converter para a forma no tempo (valor de pico I_m):
I_m = I_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}=2,806\sqrt{2}\approx 3,969\\ \mathrm{A}.
Assim, escrevendo a corrente no tempo com referência à mesma \omega:
i(t)=I_m\cos(\omega t + 90^\circ)=3,969\cos\bigl(376,99\,t + \tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \mathrm{A}.
Observação alternativa (mais direta usando i=C\,dv/dt): se v(t)=V_m\cos(\omega t) então
i(t)=C\,\frac{d}{dt}\bigl(V_m\cos(\omega t)\bigr)= -C V_m \omega \sin(\omega t).
Usando a identidade \cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\sin\theta obtém-se a mesma forma com fase +\tfrac{\pi}{2}.

Passo 8

Descrever (traçar conceitualmente) as formas de onda e suas características para a prova — como desenhar e o que destacar:
  • Formato: tanto v(t) quanto i(t) são senóides (cossenos) de mesma frequência 60\\ \mathrm{Hz} (pulsação \omega calculada).
  • Amplitudes:
    • Tensão: pico V_m\approx16,97\\ \mathrm{V}.
    • Corrente: pico I_m\approx3,969\\ \mathrm{A}.
  • Deslocamento de fase: a corrente adianta a tensão em 90^\circ (ou seja, quando a tensão cruza por zero com inclinação positiva, a corrente já está em seu pico positivo). Ao desenhar:
    • Trace v(t)=16,97\cos(376,99\,t) como referência (um cosseno começando em pico positivo no t=0).
    • Trace i(t)=3,969\cos(376,99\,t + \tfrac{\pi}{2}). Como \cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\sin\theta, a corrente estará deslocada de um quarto de período à esquerda (adiantada).
  • Dica prática para desenho à mão (na prova):
    • Marque o eixo de tempo e um período T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{60}\\ \mathrm{s}\approx 0,01667\\ \mathrm{s}.
    • No t=0: v(0)=V_m (pico positivo), i(0)=I_m\cos(90^\circ)=0 (ou seja, corrente atravessa zero em t=0 subindo para positivo logo depois). Isso ajuda a posicionar as duas curvas corretamente.
  • Conclusão qualitativa: corrente maior que tensão em amplitude relativa se comparar magnitudes r.m.s. por resistência equivalente — aqui a corrente rms é \approx2,806\\ \mathrm{A}, e ela está 90^\circ adiantada.

Resposta

a) v(t)=16,97\cos\bigl(376,99\,t\bigr)\\ \mathrm{V} \quad (fasor: \tilde{V}=12\angle 0^\circ\\ \mathrm{V})
b) X_C=\dfrac{1}{\omega C}\approx 4,276\\ \Omega \quad (impedância Z_C=-\mathrm{j}\,4,276\\ \Omega)
c) v(t)=16,97\cos\bigl(376,99\,t\bigr)\\ \mathrm{V} e i(t)=3,969\cos\bigl(376,99\,t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \mathrm{A} (corrente adianta a tensão por 90^\circ; I_{\mathrm{rms}}\approx 2,806\\ \mathrm{A}, I_m\approx 3,969\\ \mathrm{A}).

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