Uma tensão de u(t)=12 \sqrt{2} \cdot \sin \left(10^{3} \pi \cdot t\right) é aplicada a um capacitor de 4,7 \mu \mathrm{~F} / 63 \mathrm{~V}. Determine:
a) O valor eficaz da reatância do capacitor.
b) O valor eficaz da corrente.
c) A expressão algébrica do valor instantâneo da corrente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Tensão aplicada: u(t)=12\sqrt{2}\cdot\sin\!\bigl(10^{3}\pi\cdot t\bigr).
    • Capacitância: C=4{,}7\\ \mu\text{F}=4{,}7\times10^{-6}\\ \text{F}.
    • Tensão do tipo senoidal de amplitude 12\sqrt{2} (volt).
  • O que o enunciado pede:
    (a) O valor eficaz da reatância do capacitor (ou seja, o módulo da reatância capacitiva) — unidade: ohms.
    (b) O valor eficaz (rms) da corrente que passa pelo capacitor — unidade: ampere.
    (c) A expressão algébrica do valor instantâneo da corrente i(t) (função do tempo).

Passo 2

Introdução teórica curta e fórmulas que usarei (com explicação de cada variável).
  • Frequência angular: para um sinal \sin(\omega t), \omega é a frequência angular em \text{rad/s}. No enunciado temos
\omega = 10^{3}\pi.
  • Reatância capacitiva (módulo): para um capacitor ideal a reatância capacitiva é
X_{C}=\frac{1}{\omega C},
onde X_{C} é a grandeza em ohms, \omega é a frequência angular e C a capacitância.
  • Relação tensão-corrente no tempo (capacitor): a corrente instantânea é
i(t)=C\frac{du(t)}{dt}.
  • Relação rms e amplitude (senoidal): se u(t)=U_{m}\sin(\omega t) então a tensão eficaz (rms) é
U_{\text{rms}}=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}.
  • Para uma carga puramente reativa (capacitor), a corrente eficaz é
I_{\text{rms}}=\frac{U_{\text{rms}}}{X_{C}}.
  • Explicando variáveis: U_{m} é amplitude de pico da tensão, U_{\text{rms}} é valor eficaz, I_{\text{rms}} é corrente eficaz, X_{C} é reatância capacitiva.

Passo 3

Calcular \omega e U_{\text{rms}} a partir dos dados.
  • A frequência angular já está no enunciado:
\omega = 10^{3}\pi\\ \text{rad/s}.
  • Identificar a amplitude U_{m}. Da expressão u(t)=12\sqrt{2}\sin(\cdot) temos
U_{m}=12\sqrt{2}\\ \text{V}.
  • Portanto a tensão eficaz é
U_{\text{rms}}=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=12\\ \text{V}.
Observação: isso saiu bonito porque o enunciado escolheu amplitude 12\sqrt{2}, resultando em 12\\ \text{V} rms.

Passo 4

Calcular a reatância capacitiva X_{C} passo a passo.
  • Usar a fórmula
X_{C}=\frac{1}{\omega C}.
  • Substituindo \omega=10^{3}\pi e C=4{,}7\times10^{-6}\\ \text{F}:
X_{C}=\frac{1}{(10^{3}\pi)\,(4{,}7\times10^{-6})}.
  • Simplificando a constante numérica: 10^{3}\cdot4{,}7\times10^{-6}=4{,}7\times10^{-3}. Logo
X_{C}=\frac{1}{4{,}7\times10^{-3}\,\pi}=\frac{10000}{47\pi}\\ \Omega.
  • Valor numérico (aproximação): calcular X_{C}\approx
X_{C}\approx\frac{10000}{47\cdot 3{,}14159265}\approx67{,}72\\ \Omega.
Portanto o módulo da reatância capacitiva é cerca de 67{,}7\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a corrente eficaz I_{\text{rms}}.
  • Fórmula:
I_{\text{rms}}=\frac{U_{\text{rms}}}{X_{C}}.
  • Substituindo U_{\text{rms}}=12\\ \text{V} e X_{C}=10000/(47\pi)\\ \Omega, pode-se escrever exatamente
I_{\text{rms}}=12\cdot\frac{47\pi}{10000}=\frac{564\pi}{10000}\\ \text{A}.
  • Valor numérico:
I_{\text{rms}}\approx\frac{12}{67{,}72}\approx0{,}177\\ \text{A}=177\\ \text{mA}.
(Arredondei para três algarismos significativos.)

Passo 6

Determinar a amplitude de pico da corrente I_{m} (útil para escrever i(t)).
  • Relação entre eficaz e pico:
I_{m}=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}.
  • Usando I_{\text{rms}}\approx0{,}177\\ \text{A}:
I_{m}\approx\sqrt{2}\cdot0{,}177\approx0{,}2505\\ \text{A}\approx250{,}5\\ \text{mA}.
  • Também é possível obter I_{m} diretamente por I_{m}=\omega C U_{m}. Substituindo os valores:
I_{m}=(10^{3}\pi)(4{,}7\times10^{-6})(12\sqrt{2})=\frac{564\sqrt{2}\pi}{10000}\\ \text{A}\approx0{,}2505\\ \text{A},
confirmando o valor anterior.

Passo 7

Obter a expressão algébrica do valor instantâneo da corrente i(t) usando derivada.
  • Usar i(t)=C\frac{du(t)}{dt}. Como u(t)=U_{m}\sin(\omega t) com U_{m}=12\sqrt{2} e \omega=10^{3}\pi, temos
\frac{du(t)}{dt}=U_{m}\omega\cos(\omega t).
  • Logo
i(t)=C\,U_{m}\omega\cos(\omega t).
  • Podemos expressar como seno deslocado de +\tfrac{\pi}{2} (corrente adianta tensão em 90^\circ no capacitor):
i(t)=I_{m}\sin\!\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr),
onde I_{m}=C U_{m}\omega (já calculado: I_{m}\approx0{,}2505\\ \text{A}).
  • Substituindo numericamente os valores:
i(t)\approx0{,}2505\\ \sin\!\bigl(10^{3}\pi\\ t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \text{A}.
  • Se preferir escrever com cosseno:
i(t)=C U_{m}\omega\cos(\omega t)\approx0{,}2505\cos\!\bigl(10^{3}\pi\\ t\bigr)\\ \text{A}.

Resposta

(a) X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{10000}{47\pi}\\ \Omega\approx67{,}7\\ \Omega
(b) I_{\text{rms}}=\dfrac{U_{\text{rms}}}{X_{C}}=\dfrac{564\pi}{10000}\\ \text{A}\approx0{,}177\\ \text{A}
(c) i(t)=I_{m}\sin\!\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr) com I_{m}=C U_{m}\omega\approx0{,}2505\\ \text{A} e \omega=10^{3}\pi; portanto
i(t)\approx0{,}2505\sin\!\bigl(10^{3}\pi\,t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)\\ \text{A}.

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