Uma tensão de
é aplicada a um capacitor de
. Determine:
a) O valor eficaz da reatância do capacitor.
b) O valor eficaz da corrente.
c) A expressão algébrica do valor instantâneo da corrente.
a) O valor eficaz da reatância do capacitor.
b) O valor eficaz da corrente.
c) A expressão algébrica do valor instantâneo da corrente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Tensão aplicada:
. - Capacitância:
. - Tensão do tipo senoidal de amplitude
(volt).
- Tensão aplicada:
-
O que o enunciado pede:
(a) O valor eficaz da reatância do capacitor (ou seja, o módulo da reatância capacitiva) — unidade: ohms.
(b) O valor eficaz (rms) da corrente que passa pelo capacitor — unidade: ampere.
(c) A expressão algébrica do valor instantâneo da corrente(função do tempo).
Passo 2
Introdução teórica curta e fórmulas que usarei (com explicação de cada variável).
- Frequência angular: para um sinal
, é a frequência angular em . No enunciado temos
- Reatância capacitiva (módulo): para um capacitor ideal a reatância capacitiva é
onde
é a grandeza em ohms,
é a frequência angular e
a capacitância.
- Relação tensão-corrente no tempo (capacitor): a corrente instantânea é
- Relação rms e amplitude (senoidal): se
então a tensão eficaz (rms) é
- Para uma carga puramente reativa (capacitor), a corrente eficaz é
- Explicando variáveis:
é amplitude de pico da tensão, é valor eficaz, é corrente eficaz, é reatância capacitiva.
Passo 3
Calcular
e
a partir dos dados.
- A frequência angular já está no enunciado:
- Identificar a amplitude
. Da expressão temos
- Portanto a tensão eficaz é
Observação: isso saiu bonito porque o enunciado escolheu amplitude
, resultando em
rms.
Passo 4
Calcular a reatância capacitiva
passo a passo.
- Usar a fórmula
- Substituindo
e :
- Simplificando a constante numérica:
. Logo
- Valor numérico (aproximação): calcular
Portanto o módulo da reatância capacitiva é cerca de
.
Passo 5
Calcular a corrente eficaz
.
- Fórmula:
- Substituindo
e , pode-se escrever exatamente
- Valor numérico:
(Arredondei para três algarismos significativos.)
Passo 6
Determinar a amplitude de pico da corrente
(útil para escrever
).
- Relação entre eficaz e pico:
- Usando
:
- Também é possível obter
diretamente por . Substituindo os valores:
confirmando o valor anterior.
Passo 7
Obter a expressão algébrica do valor instantâneo da corrente
usando derivada.
- Usar
. Como com e , temos
- Logo
- Podemos expressar como seno deslocado de
(corrente adianta tensão em no capacitor):
onde
(já calculado:
).
- Substituindo numericamente os valores:
- Se preferir escrever com cosseno:
Resposta
(a)
(b)
(c)
com
e
; portanto