1. Aplicação Biológica: Em um modelo populacional, o número de indivíduos na geração n é dado por p_{n}=\frac{1000}{1+9 e^{-0.5 n}}.
    (a) Calcule os 5 primeiros termos da sequência.
    (b) A população estabiliza? Se sim, qual é o limite?

Passo 1

O enunciado dá um modelo populacional onde a sequência de gerações é
p_{n} = \frac{1000}{1 + 9\,e^{-0,5\,n}}.
O conteúdo envolvido é cálculo de termos de sequência e limite de sequência. Vamos primeiro obter os cinco primeiros termos e depois investigar se há estabilização (isto é, se existe \lim_{n\to\infty}p_{n}).

Passo 2

Para calcular os cinco primeiros termos, substituímos n=1,2,3,4,5 em \displaystyle p_{n} = \frac{1000}{1 + 9\,e^{-0,5\,n}}. Usamos aproximações de e^{-0,5n}:
Para n=1, e^{-0,5}\approx0,6065, então
p_{1} = \frac{1000}{1 + 9\cdot0,6065} = \frac{1000}{1 + 5,4585} = \frac{1000}{6,4585} \approx154,86.
Para n=2, e^{-1}\approx0,3679, então
p_{2} = \frac{1000}{1 + 9\cdot0,3679} = \frac{1000}{1 + 3,3111} = \frac{1000}{4,3111} \approx231,94.
Para n=3, e^{-1,5}\approx0,2231, então
p_{3} = \frac{1000}{1 + 9\cdot0,2231} = \frac{1000}{1 + 2,0079} = \frac{1000}{3,0079} \approx332,58.
Para n=4, e^{-2}\approx0,1353, então
p_{4} = \frac{1000}{1 + 9\cdot0,1353} = \frac{1000}{1 + 1,2177} = \frac{1000}{2,2177} \approx450,64.
Para n=5, e^{-2,5}\approx0,0821, então
p_{5} = \frac{1000}{1 + 9\cdot0,0821} = \frac{1000}{1 + 0,7389} = \frac{1000}{1,7389} \approx574,95.

Passo 3

Para estudar a estabilidade, analisamos o limite quando n\to\infty. Como
\lim_{n\to\infty}e^{-0,5\,n} = 0,
temos
\lim_{n\to\infty}p_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1000}{1+9\,e^{-0,5\,n}} = \frac{1000}{1+9\cdot0} = 1000.
Isso mostra que a população se estabiliza num valor de 1000 indivíduos.

Resposta

(a) p_{1}\approx154,86, p_{2}\approx231,94, p_{3}\approx332,58, p_{4}\approx450,64, p_{5}\approx574,95.
(b) Sim, a população estabiliza e o limite é 1000.

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