1. Aplicação Financeira: Um investimento de \mathrm{R} \ 10.000,00 rende juros de0.5 % ao mês. Sejaêa_{n} o valor do investimento apósón$ meses.
    (a) Encontre uma fórmula para a_{n}.
    (b) A sequência é convergente? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que aplicamos \text{R\$}\,10\,000 a uma taxa de juros de 0,5\% ao mês e define a_{n} como o valor acumulado após n meses. O conteúdo principal é progressão geométrica, pois a cada mês o capital cresce multiplicado por um fator fixo 1 + i, onde i=0,005.

Passo 2

Em cada mês, o valor novo é o valor antigo mais 0,5\% desse valor. Logo, se a_{n} é o valor após n meses, então
a_{n+1} = a_{n} + 0,005\,a_{n} = a_{n}\,(1 + 0,005) = a_{n}\times 1,005.
Isso mostra que \{a_{n}\} segue a lei de formação de uma progressão geométrica com razão r=1,005.

Passo 3

Para uma progressão geométrica com termo inicial a_{0}=10\,000 e razão r=1,005, o termo geral é
a_{n} = a_{0}\,r^{n} = 10\,000 \times (1,005)^{n}.

Passo 4

Para estudar a convergência, observamos que \lim_{n\to\infty}(1,005)^{n}=+\infty porque a razão r=1,005 é maior que 1. Multiplicando por 10\,000 não muda esse comportamento divergente. Portanto, a sequência \{a_{n}\} não é convergente em \mathbb{R}; ela cresce sem limite.

Resposta

(a) \displaystyle a_{n} = 10\,000 \times (1,005)^{n}.
(b) A sequência não é convergente, pois (1,005)^{n}\to+\infty quando n\to\infty.

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