Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções: F(x)=\frac{x^{2}+2 x+4}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4 x+5\right)}
Passo 1
O que o enunciado pede: a decomposição em frações parciais da função racional
O denominador é produto de dois quadráticos: \;x^{2}+1\; e \;x^{2}+4x+5\;.
A tarefa é escrever F(x) como soma de parcelas racionais cujos denominadores sejam esses quadráticos (ou seus fatores, se qualquer um for fatorável), com coeficientes a determinar.
Passo 2
Análise dos denominadores (importante para definir a forma das parcelas):
O polinômio \;x^{2}+1\; tem discriminante -4<0, logo é irredutível sobre \mathbb{R}.
O polinômio \;x^{2}+4x+5\; tem discriminante 16-20=-4<0, também é irredutível; podemos completar o quadrado para vê-lo melhor:
x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1.
Regra prática para frações parciais: para cada fator quadrático irreduzível do tipo \;ax^{2}+bx+c\; devemos usar um numerador linear \;px+q\;. Portanto assumimos a forma
Somando ambas as expansões obtemos o polinômio do lado direito:
(A+C)x^{3}+(4A+B+D)x^{2}+(5A+4B+C)x+(5B+D).
Passo 4
Agora comparamos coeficientes do polinômio à esquerda x^{2}+2x+4 (que é igual a 0\cdot x^{3}+1\cdot x^{2}+2\cdot x+4) com os coeficientes do polinômio do lado direito para obter um sistema linear em A,B,C,D. Igualando coeficientes obtemos:
Observação didática rápida (útil para transformadas inversas):
Termos do tipo \dfrac{x}{x^{2}+1} e \dfrac{1}{x^{2}+1} correspondem facilmente às transformadas de senos e cossenos nas inversas de Fourier/Laplace (aparecem como combinações de funções pares e ímpares).
Para o segundo denominador \;x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1\; é conveniente reescrever o numerador em termos de (x+2) e constantes, porque isso facilita a identificação com formas padrão como \dfrac{x+2}{(x+2)^{2}+1} e \dfrac{1}{(x+2)^{2}+1}.