Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
F(x)=\frac{x^{2}+2 x+4}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4 x+5\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede: a decomposição em frações parciais da função racional
F(x)=\frac{x^{2}+2x+4}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4x+5\right)}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é \;x^{2}+2x+4\;.
  • O denominador é produto de dois quadráticos: \;x^{2}+1\; e \;x^{2}+4x+5\;.
  • A tarefa é escrever F(x) como soma de parcelas racionais cujos denominadores sejam esses quadráticos (ou seus fatores, se qualquer um for fatorável), com coeficientes a determinar.

Passo 2

Análise dos denominadores (importante para definir a forma das parcelas):
  • O polinômio \;x^{2}+1\; tem discriminante -4<0, logo é irredutível sobre \mathbb{R}.
  • O polinômio \;x^{2}+4x+5\; tem discriminante 16-20=-4<0, também é irredutível; podemos completar o quadrado para vê-lo melhor:
x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1.
Regra prática para frações parciais: para cada fator quadrático irreduzível do tipo \;ax^{2}+bx+c\; devemos usar um numerador linear \;px+q\;. Portanto assumimos a forma
\frac{x^{2}+2x+4}{(x^{2}+1)(x^{2}+4x+5)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4x+5},
onde A,B,C,D são constantes reais desconhecidas que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da identidade pela (x^{2}+1)(x^{2}+4x+5) para eliminar denominadores. Isso gera a identidade polinomial
x^{2}+2x+4=(Ax+B)(x^{2}+4x+5)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Agora vamos expandir cada produto cuidadosamente.
Expansão de (Ax+B)(x^{2}+4x+5):
(Ax+B)(x^{2}+4x+5)=A x^{3}+(4A+B)x^{2}+(5A+4B)x+5B.
Expansão de (Cx+D)(x^{2}+1):
(Cx+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+D x^{2}+C x + D.
Somando ambas as expansões obtemos o polinômio do lado direito:
(A+C)x^{3}+(4A+B+D)x^{2}+(5A+4B+C)x+(5B+D).

Passo 4

Agora comparamos coeficientes do polinômio à esquerda x^{2}+2x+4 (que é igual a 0\cdot x^{3}+1\cdot x^{2}+2\cdot x+4) com os coeficientes do polinômio do lado direito para obter um sistema linear em A,B,C,D. Igualando coeficientes obtemos:
\begin{cases} \text{coef. }x^{3}: & A+C=0,\\[4pt] \text{coef. }x^{2}: & 4A+B+D=1,\\[4pt] \text{coef. }x^{1}: & 5A+4B+C=2,\\[4pt] \text{coef. constante:} & 5B+D=4. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo.
Da primeira equação temos
C=-A.
Substituímos C=-A\) na equação do coeficiente de \(x\): \[5A+4B+(-A)=2 \quad\Rightarrow\quad 4A+4B=2.
Dividindo por 4:
A+B=\tfrac{1}{2}. \tag{1}
Da equação do termo constante:
5B+D=4 \quad\Rightarrow\quad D=4-5B. \tag{2}
Substituímos (2) na equação do coeficiente de x^{2}:
4A+B+(4-5B)=1 \quad\Rightarrow\quad 4A-4B+4=1.
Assim
4A-4B=-3 \quad\Rightarrow\quad A-B=-\tfrac{3}{4}. \tag{3}
Agora resolvemos o sistema formado por (1) e (3):
\begin{cases} A+B=\tfrac{1}{2},\\[4pt] A-B=-\tfrac{3}{4}. \end{cases}
Somando as duas equações:
2A=-\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{8}.
Substituindo em (1):
-\tfrac{1}{8}+B=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{5}{8}.
Agora (C=-A=\tfrac{1}{8}]. E por (2):
D=4-5B=4-5\cdot\tfrac{5}{8}=4-\tfrac{25}{8}=\tfrac{7}{8}.
Portanto os coeficientes são
A=-\tfrac{1}{8},\qquad B=\tfrac{5}{8},\qquad C=\tfrac{1}{8},\qquad D=\tfrac{7}{8}.]

Passo 6

Escrevemos a decomposição com os valores encontrados. Substituindo os coeficientes na forma assumida:
\frac{x^{2}+2x+4}{(x^{2}+1)(x^{2}+4x+5)}=\frac{-\tfrac{1}{8}x+\tfrac{5}{8}}{x^{2}+1}+\frac{\tfrac{1}{8}x+\tfrac{7}{8}}{x^{2}+4x+5}.
Para deixar mais limpo, podemos fatorar \tfrac{1}{8}:
\frac{x^{2}+2x+4}{(x^{2}+1)(x^{2}+4x+5)}=\tfrac{1}{8}\left(\frac{-x+5}{x^{2}+1}+\frac{x+7}{x^{2}+4x+5}\right).
Observação didática rápida (útil para transformadas inversas):
  • Termos do tipo \dfrac{x}{x^{2}+1} e \dfrac{1}{x^{2}+1} correspondem facilmente às transformadas de senos e cossenos nas inversas de Fourier/Laplace (aparecem como combinações de funções pares e ímpares).
  • Para o segundo denominador \;x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1\; é conveniente reescrever o numerador em termos de (x+2) e constantes, porque isso facilita a identificação com formas padrão como \dfrac{x+2}{(x+2)^{2}+1} e \dfrac{1}{(x+2)^{2}+1}.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}+2x+4}{(x^{2}+1)(x^{2}+4x+5)}=\frac{-\tfrac{1}{8}x+\tfrac{5}{8}}{x^{2}+1}+\frac{\tfrac{1}{8}x+\tfrac{7}{8}}{x^{2}+4x+5}\n
\displaystyle =\tfrac{1}{8}\left(\frac{-x+5}{x^{2}+1}+\frac{x+7}{x^{2}+4x+5}\right)

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