Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções: F(x)=\frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)}
Passo 1
O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
F(x)=\frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)}.
Informações dadas e observações imediatas:
O numerador é \;x+1\;.
O denominador é o produto de \;x\; (fator linear) e \;x^{2}+1\; (quadrático irredutível sobre os reais).
A fração é própria (grau do numerador =1 é menor que grau do denominador =3).
A tarefa: escrever F(x) como soma de termos mais simples do tipo constante sobre fator linear e numerador linear sobre fator quadrático.
Passo 2
Qual forma geral usar para a decomposição? Regra prática:
Para cada fator linear distinto \;(ax+b)\; usamos \;A/(ax+b)\; (constante no numerador).
Para cada fator quadrático irredutível \;x^{2}+1\; usamos \;(Bx+C)/(x^{2}+1)\; (numerador linear).
Portanto, assumimos a forma
Agora “limpamos” os denominadores: multiplicamos ambos os lados por x\left(x^{2}+1\right) para obter uma identidade polinomial sem frações:
x+1 = A\,(x^{2}+1) + (Bx+C)\,x.
Expliquei: o termo \dfrac{A}{x} ao multiplicar pela x(x^2+1) vira A(x^2+1); o termo \dfrac{Bx+C}{x^2+1} vira (Bx+C)x.
Passo 4
Expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de x:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)x = A x^{2} + A + B x^{2} + C x.
Agrupando:
A x^{2} + B x^{2} + C x + A = (A+B)x^{2} + C x + A.
Passo 5
Agora igualamos coeficientes da identidade polinomial com o lado esquerdo x+1\), que é
\[0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 1.
Comparando coeficientes termo a termo obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0 &\text{(coeficiente de }x^{2}\text{)}\\[4pt] C = 1 &\text{(coeficiente de }x\text{)}\\[4pt] A = 1 &\text{(termo constante)} \end{cases}
Expliquei: igualamos coeficientes porque duas polinômios idênticos têm os mesmos coeficientes para cada potência de (x].]
Passo 6
Resolvemos o sistema simples:
De A=1 já temos A=1.
De A+B=0 segue B=-A=-1.
De C=1 já temos C=1.
Logo A=1, B=-1, C=1.
Passo 7
Substituímos os valores encontrados na forma assumida para obter a decomposição final. Primeiro:
Comentário didático rápido (útil para transformadas inversas): termos do tipo \dfrac{1}{x}, \dfrac{x}{x^{2}+1} e \dfrac{1}{x^{2}+1} correspondem, após troca de variável para s ou \omega, a funções conhecidas (por exemplo, \dfrac{s}{s^{2}+1} está ligado ao \cos, \dfrac{1}{s^{2}+1} ao \sin, etc.), então essa separação é prática para aplicar tabelas de transformadas.
Passo 8
Verificação rápida (checar que voltamos à função original): juntando os termos da forma final sobre o denominador comum x(x^{2}+1) temos: