Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
F(x)=\frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
F(x)=\frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é \;x+1\;.
  • O denominador é o produto de \;x\; (fator linear) e \;x^{2}+1\; (quadrático irredutível sobre os reais).
  • A fração é própria (grau do numerador =1 é menor que grau do denominador =3).
  • A tarefa: escrever F(x) como soma de termos mais simples do tipo constante sobre fator linear e numerador linear sobre fator quadrático.

Passo 2

Qual forma geral usar para a decomposição? Regra prática:
  • Para cada fator linear distinto \;(ax+b)\; usamos \;A/(ax+b)\; (constante no numerador).
  • Para cada fator quadrático irredutível \;x^{2}+1\; usamos \;(Bx+C)/(x^{2}+1)\; (numerador linear).
    Portanto, assumimos a forma
\frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Agora “limpamos” os denominadores: multiplicamos ambos os lados por x\left(x^{2}+1\right) para obter uma identidade polinomial sem frações:
x+1 = A\,(x^{2}+1) + (Bx+C)\,x.
Expliquei: o termo \dfrac{A}{x} ao multiplicar pela x(x^2+1) vira A(x^2+1); o termo \dfrac{Bx+C}{x^2+1} vira (Bx+C)x.

Passo 4

Expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de x:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)x = A x^{2} + A + B x^{2} + C x.
Agrupando:
A x^{2} + B x^{2} + C x + A = (A+B)x^{2} + C x + A.

Passo 5

Agora igualamos coeficientes da identidade polinomial com o lado esquerdo x+1\), que é \[0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 1.
Comparando coeficientes termo a termo obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0 &\text{(coeficiente de }x^{2}\text{)}\\[4pt] C = 1 &\text{(coeficiente de }x\text{)}\\[4pt] A = 1 &\text{(termo constante)} \end{cases}
Expliquei: igualamos coeficientes porque duas polinômios idênticos têm os mesmos coeficientes para cada potência de (x].]

Passo 6

Resolvemos o sistema simples:
  • De A=1 já temos A=1.
  • De A+B=0 segue B=-A=-1.
  • De C=1 já temos C=1.
    Logo A=1, B=-1, C=1.

Passo 7

Substituímos os valores encontrados na forma assumida para obter a decomposição final. Primeiro:
\frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{x}+\frac{-x+1}{x^{2}+1}.
Podemos também separar o numerador linear do segundo termo em duas parcelas para ver formas úteis em transformadas:
\frac{-x+1}{x^{2}+1}=-\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1},
portanto uma forma alternativa é
\frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}.
Comentário didático rápido (útil para transformadas inversas): termos do tipo \dfrac{1}{x}, \dfrac{x}{x^{2}+1} e \dfrac{1}{x^{2}+1} correspondem, após troca de variável para s ou \omega, a funções conhecidas (por exemplo, \dfrac{s}{s^{2}+1} está ligado ao \cos, \dfrac{1}{s^{2}+1} ao \sin, etc.), então essa separação é prática para aplicar tabelas de transformadas.

Passo 8

Verificação rápida (checar que voltamos à função original): juntando os termos da forma final sobre o denominador comum x(x^{2}+1) temos:
\frac{1}{x}+\frac{-x+1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+1 + (-x+1)x}{x(x^{2}+1)}=\frac{x^{2}+1 -x^{2}+x}{x(x^{2}+1)}=\frac{x+1}{x(x^{2}+1)},
confirmando que a decomposição está correta.

Resposta

\frac{x+1}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{x}+\frac{-x+1}{x^{2}+1}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}.

Exercícios relacionados