Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções: F(x)=\frac{x^{4}+2 x^{3}+2}{x^{3}\left(x^{2}-x-2\right)}
Passo 1
O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função
\text{Pedir: decomposição em frações parciais de }F(x).
Também observamos que o polinômio do denominador pode ser fatorado; vamos usar essa fatoração para montar a forma das frações parciais.
Passo 2
Fatoração do denominador e forma geral da decomposição.
Primeiro fatoramos \left(x^{2}-x-2\right):
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto o denominador é
x^{3}(x-2)(x+1).
Regra prática para frações parciais com fatores lineares e fator de ordem 3 em x: para uma potência x^{3} devemos incluir termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}+\dfrac{C}{x^{3}}. Para fatores lineares distintos (x-2) e (x+1) incluímos termos \dfrac{D}{x-2} e \dfrac{E}{x+1}.
Essa é uma igualdade de polinômios válida para todo x. Podemos determinar A,B,C,D,E avaliando em pontos convenientes (raízes do denominador) e, se necessário, comparando coeficientes.
Passo 4
Determinar C usando x=0.
Avaliamo a identidade em x=0. No lado esquerdo:
0^{4}+2\cdot0^{3}+2 = 2.
No lado direito, somente o termo com C sobreviverá, pois x aparece em todos os outros termos:
C\,(0-2)(0+1)=C\cdot(-2)\cdot1 = -2C.
Logo
-2C=2 \quad\Rightarrow\quad C=-1.
Passo 5
Determinar D e E usando as raízes x=2 e x=-1 (método do “cover-up” para frações simples).
Para x=2: no lado esquerdo
2^{4}+2\cdot2^{3}+2 = 16+16+2 = 34.
No lado direito, todos os termos com fator (x-2) são zero; sobra apenas o termo com D: