Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
F(x)=\frac{x^{4}+2 x^{3}+2}{x^{3}\left(x^{2}-x-2\right)}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função
F(x)=\frac{x^{4}+2 x^{3}+2}{x^{3}\left(x^{2}-x-2\right)}.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
\text{Dado: }F(x)=\frac{x^{4}+2 x^{3}+2}{x^{3}\left(x^{2}-x-2\right)}.
\text{Pedir: decomposição em frações parciais de }F(x).çãçõ
Também observamos que o polinômio do denominador pode ser fatorado; vamos usar essa fatoração para montar a forma das frações parciais.

Passo 2

Fatoração do denominador e forma geral da decomposição.
Primeiro fatoramos \left(x^{2}-x-2\right):
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto o denominador é
x^{3}(x-2)(x+1).
Regra prática para frações parciais com fatores lineares e fator de ordem 3 em x: para uma potência x^{3} devemos incluir termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}+\dfrac{C}{x^{3}}. Para fatores lineares distintos (x-2) e (x+1) incluímos termos \dfrac{D}{x-2} e \dfrac{E}{x+1}.
Assim propomos a decomposição
\frac{x^{4}+2 x^{3}+2}{x^{3}(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x^{3}}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{x+1},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar.

Passo 3

Transformar a igualdade numa identidade polinomial multiplicando ambos os lados por x^{3}(x-2)(x+1).
Multiplicando, obtemos a identidade
x^{4}+2x^{3}+2 = A\,x^{2}(x-2)(x+1) + B\,x(x-2)(x+1) + C\,(x-2)(x+1) + D\,x^{3}(x+1) + E\,x^{3}(x-2).
Essa é uma igualdade de polinômios válida para todo x. Podemos determinar A,B,C,D,E avaliando em pontos convenientes (raízes do denominador) e, se necessário, comparando coeficientes.

Passo 4

Determinar C usando x=0.
Avaliamo a identidade em x=0. No lado esquerdo:
0^{4}+2\cdot0^{3}+2 = 2.
No lado direito, somente o termo com C sobreviverá, pois x aparece em todos os outros termos:
C\,(0-2)(0+1)=C\cdot(-2)\cdot1 = -2C.
Logo
-2C=2 \quad\Rightarrow\quad C=-1.

Passo 5

Determinar D e E usando as raízes x=2 e x=-1 (método do “cover-up” para frações simples).
Para x=2: no lado esquerdo
2^{4}+2\cdot2^{3}+2 = 16+16+2 = 34.
No lado direito, todos os termos com fator (x-2) são zero; sobra apenas o termo com D:
D\cdot 2^{3}(2+1)=D\cdot8\cdot3=24D.
Portanto
24D=34 \quad\Rightarrow\quad D=\frac{34}{24}=\frac{17}{12}.
Para x=-1: no lado esquerdo
(-1)^{4}+2(-1)^{3}+2 = 1-2+2=1.
No lado direito, só sobra o termo com E:
E\cdot(-1)^{3}(-1-2)=E\cdot(-1)\cdot(-3)=3E.
Logo
3E=1 \quad\Rightarrow\quad E=\frac{1}{3}.

Passo 6

Montar duas equações restantes para A e B. Escolhemos dois valores convenientes de x que não sejam raízes já usadas, por exemplo x=1 e x=-2.
Avaliar a identidade em x=1.
Lado esquerdo:
1^{4}+2\cdot1^{3}+2 = 1+2+2=5.
Lado direito (substituindo C=-1, D=\tfrac{17}{12}, E=\tfrac{1}{3}):
A\cdot1^{2}(1-2)(1+1) + B\cdot1(1-2)(1+1) + C(1-2)(1+1) + D\cdot1^{3}(1+1) + E\cdot1^{3}(1-2).
Calcule os fatores numéricos:
(1-2)(1+1)=(-1)\cdot2=-2.
Portanto
-2A + (-2)B + C\cdot(-2) + 2D + (-1)E.
Substituindo C=-1, D=\tfrac{17}{12}, E=\tfrac{1}{3}:
-2A -2B + (-1)(-2) + 2\cdot\frac{17}{12} - \frac{1}{3}.
Calcule os números:
(-1)(-2)=2,\qquad 2\cdot\frac{17}{12}=\frac{17}{6},\qquad -\frac{1}{3}=-\frac{2}{6}.
Então a soma numérica é
2 + \frac{17}{6} - \frac{2}{6} = 2 + \frac{15}{6} = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}.
Logo a equação para x=1 é
5 = -2A -2B + \frac{9}{2}.
Isolando:
-2A -2B = 5 - \frac{9}{2} = \frac{1}{2},
dividindo por -2:
A + B = -\frac{1}{4}. \tag{1}

Passo 7

Avaliar a identidade em x=-2 para obter a segunda equação.
Lado esquerdo:
(-2)^{4}+2(-2)^{3}+2 = 16 -16 +2 = 2.
Lado direito (calcule cada termo; lembrando (x-2)(x+1) em x=-2 vale 4):
A\cdot(-2)^{2}(-2-2)(-2+1) + B\cdot(-2)(-2-2)(-2+1) + C\cdot(-2-2)(-2+1) + D\cdot(-2)^{3}(-2+1) + E\cdot(-2)^{3}(-2-2).
Mais simples: usamos as avaliações já feitas nos cálculos curtos:
16A -8B -4 + \frac{34}{3} + \frac{32}{3}.
Explicação rápida dos termos numéricos:
C\cdot(x-2)(x+1)=(-1)\cdot4=-4,
D\cdot x^{3}(x+1)=\frac{17}{12}\cdot(-8)\cdot(-1)=\frac{17}{12}\cdot8=\frac{34}{3},
E\cdot x^{3}(x-2)=\frac{1}{3}\cdot(-8)\cdot(-4)=\frac{1}{3}\cdot32=\frac{32}{3}.
Somando os termos constantes \tfrac{34}{3}+\tfrac{32}{3}=\tfrac{66}{3}=22. Assim o lado direito é
16A -8B -4 + 22 = 16A -8B +18.
Igualando ao lado esquerdo 2, obtemos
16A -8B +18 = 2 \quad\Rightarrow\quad 16A -8B = -16.
Dividindo por 8:
2A - B = -2. \tag{2}

Passo 8

Resolver o sistema linear formado pelas equações (1) e (2):
\begin{cases} A + B = -\dfrac{1}{4},\\[6pt] 2A - B = -2. \end{cases}
Somando as duas equações:
3A = -\dfrac{1}{4} + (-2) = -\dfrac{1}{4} - \dfrac{8}{4} = -\dfrac{9}{4},
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A = -\dfrac{9}{12} = -\dfrac{3}{4}.
Substituindo em A+B=-\dfrac{1}{4}:
-\dfrac{3}{4} + B = -\dfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad B = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}.]

Passo 9

Reunindo todos os coeficientes encontrados:
A = -\frac{3}{4},\qquad B=\frac{1}{2},\qquad C=-1,\qquad D=\frac{17}{12},\qquad E=\frac{1}{3}.
Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{x^{4}+2 x^{3}+2}{x^{3}(x-2)(x+1)} = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{17}{12}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}.

Resposta

F(x)=-\frac{3}{4}\,\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\,\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}+\frac{17}{12}\,\frac{1}{x-2}+\frac{1}{3}\,\frac{1}{x+1}.

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