Aplicação em Computação: O método da bissecção para encontrar raízes de equações gera uma sequência de aproximações. Se a_{n} é o erro na n-ésima iteração, mostre que a_{n}= \frac{b-a}{2^{n}}, onde [a, b] é o intervalo inicial. Esta sequência converge? Para que valor?

Passo 1

O enunciado fala do método da bissecção, em que temos um intervalo inicial [a,b] que contém a raiz de uma função contínua. A cada iteração escolhemos o ponto médio do intervalo atual como nova aproximação, e definimos a_{n} como o erro na n-ésima iteração (isto é, o comprimento do intervalo que ainda “pode conter” a raiz). Queremos mostrar que
a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}
e depois checar se \{a_{n}\} converge e para qual valor.

Passo 2

No método da bissecção, a cada iteração o intervalo que contém a raiz tem seu comprimento reduzido exatamente à metade do comprimento anterior. Se chamarmos de a_{n-1} o comprimento do intervalo após n-1 iterações, então após a n-ésima iteração o novo comprimento a_{n} satisfaz
a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}.
Além disso, no início (antes de qualquer iteração) o comprimento é
a_{0}=b-a.

Passo 3

Para obter uma fórmula fechada, basta resolver a recorrência
a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}, \quad a_{0}=b-a.
Usamos indução ou reconhecemos que a cada passo multiplicamos por 1/2:
a_{1}=\frac{a_{0}}{2}=\frac{b-a}{2},\quad a_{2}=\frac{a_{1}}{2}=\frac{b-a}{2^{2}},\;\dots,\; a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}.

Passo 4

Para ver a convergência, note que 2^{n}\to\infty quando n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{2^{n}} =0.
Ou seja, o erro vai a zero e as aproximações convergem para a raiz exata do problema.

Resposta

a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}},
e a sequência \{a_{n}\} converge para 0.

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