Aplicação em Computação: O método da bissecção para encontrar raízes de equações gera uma sequência de aproximações. Se
é o erro na n-ésima iteração, mostre que
, onde
é o intervalo inicial. Esta sequência converge? Para que valor?
Passo 1
O enunciado fala do método da bissecção, em que temos um intervalo inicial
que contém a raiz de uma função contínua. A cada iteração escolhemos o ponto médio do intervalo atual como nova aproximação, e definimos
como o erro na
-ésima iteração (isto é, o comprimento do intervalo que ainda “pode conter” a raiz). Queremos mostrar que
e depois checar se
converge e para qual valor.
Passo 2
No método da bissecção, a cada iteração o intervalo que contém a raiz tem seu comprimento reduzido exatamente à metade do comprimento anterior. Se chamarmos de
o comprimento do intervalo após
iterações, então após a
-ésima iteração o novo comprimento
satisfaz
Além disso, no início (antes de qualquer iteração) o comprimento é
Passo 3
Para obter uma fórmula fechada, basta resolver a recorrência
Usamos indução ou reconhecemos que a cada passo multiplicamos por
:
Passo 4
Para ver a convergência, note que
quando
. Logo
Ou seja, o erro vai a zero e as aproximações convergem para a raiz exata do problema.
Resposta
e a sequência
converge para
.