- Seja
e
para
. Mostre que a sequência converge e encontre seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por \r
Queremos mostrar que
converge e determinar seu limite. Precisamos usar o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas (mostrar que é crescente e limitada) e depois resolver a equação do limite.
Passo 2
Mostramos que
é crescente, ou seja,
para todo
. \r
Base : \r
Base
Passo indutivo: suponha
. Como a função
é crescente em
, temos \r
Logo, por indução,
é crescente.
Passo 3
Provar que
é limitada superiormente. Note que \r
Se
, então \r
Assim, por indução, todos os termos satisfazem
. Portanto,
é limitada superiormente por
.
Passo 4
Como
é crescente e limitada superiormente, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Seja \r
Passo 5
Passando ao limite na relação de recorrência,\r
Elevando ao quadrado,\r
As raízes dessa equação são \r
Como
para todo
, o limite deve ser positivo, portanto \r
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.