1. Seja a_{1}=1 e a_{n+1}=\sqrt{1+a_{n}} para n \geq 1. Mostre que a sequência converge e encontre seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por \r
a_{1} = 1, \qquad a_{n+1} = \sqrt{1 + a_{n}}, \quad n \ge 1.\r
Queremos mostrar que (a_n) converge e determinar seu limite. Precisamos usar o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas (mostrar que é crescente e limitada) e depois resolver a equação do limite.

Passo 2

Mostramos que (a_n) é crescente, ou seja, a_{n+1}\ge a_n para todo n. \r
Base n=1: \r
a_{2} = \sqrt{1 + a_{1}} = \sqrt{2} > 1 = a_{1}.\r
Passo indutivo: suponha a_{n}\ge a_{n-1}. Como a função x\mapsto \sqrt{1+x} é crescente em \mathbb{R}_{+}, temos \r
a_{n+1} = \sqrt{1 + a_{n}} \ge \sqrt{1 + a_{n-1}} = a_{n}.\r
Logo, por indução, (a_n) é crescente.

Passo 3

Provar que (a_n) é limitada superiormente. Note que \r
a_{1} = 1 < 2.\r
Se a_{n} < 2, então \r
a_{n+1} = \sqrt{1 + a_{n}} < \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} < 2.\r
Assim, por indução, todos os termos satisfazem a_n < 2. Portanto, (a_n) é limitada superiormente por 2.

Passo 4

Como (a_n) é crescente e limitada superiormente, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Seja \r
L = \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 5

Passando ao limite na relação de recorrência,\r
L = \sqrt{1 + L}.\r
Elevando ao quadrado,\r
L^2 = 1 + L \quad\Longrightarrow\quad L^2 - L - 1 = 0.\r
As raízes dessa equação são \r
L = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.\r
Como a_n>0 para todo n, o limite deve ser positivo, portanto \r
L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

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