1. Aplicação Física: Uma bola é solta de uma altura de 10 m . A cada quique, ela atinge 80 \% da altura anterior. Seja h_{n} a altura após n quiques.
    (a) Encontre uma fórmula para h_{n}.
    (b) Mostre que a sequência converge e encontre seu limite.
    (c) Qual a distância total percorrida pela bola quando o número de quiques tende ao infinito?

Passo 1

O enunciado trata de uma bola solta de 10 m que, a cada quique, atinge 80\% da altura anterior. Definimos h_n como a altura alcançada imediatamente após o n-ésimo quique. O conteúdo necessário envolve sequência geométrica e soma de série geométrica infinita.

Passo 2

Para achar uma fórmula geral de h_n, note que na primeira queda a bola sai de 10 m e, após o primeiro quique, atinge
h_1 = 10 \times 0,8.
Depois do segundo quique, ela atinge
h_2 = h_1 \times 0,8 = 10 \times (0,8)^2,
e assim por diante. Logo, para todo n\ge1 vale
h_n = 10 \,(0,8)^n.

Passo 3

Como |0,8|<1, a sequência geométrica \bigl(h_n\bigr) converge para zero quando n\to\infty. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}h_n = \lim_{n\to\infty}10\,(0,8)^n = 0.

Passo 4

Para calcular a distância total percorrida quando o número de quiques tende ao infinito, somamos:
  1. A queda inicial de 10 m.
  2. Depois de cada quique n, ela sobe h_n e desce h_n.
Assim, a distância total é
D = 10 \;+\; 2\sum_{n=1}^{\infty}h_n = 10 \;+\; 2\sum_{n=1}^{\infty}10\,(0,8)^n = 10 \;+\; 20\sum_{n=1}^{\infty}(0,8)^n.
Como
\sum_{n=1}^{\infty}(0,8)^n = \frac{0,8}{1-0,8} = 4,
vem
D = 10 + 20 \times 4 = 10 + 80 = 90\;\text{m}.

Resposta

(a) h_n = 10\,(0,8)^n.
(b) A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}h_n = 0.
(c) A distância total percorrida é 90 m.

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