A aplicação de uma entrada x(t)=e^{-2 t} u(t) em um sistema linear e invariante no tempo, inicialmente em repouso, resultou na saída y(t)=3 t e^{-2 t} u(t)+e^{-t} u(t). Determine
(a) O tempo de propagação t_{p} do sistema;
(b) A resposta ao impulso h(t).

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI causal (em repouso antes de t=0) com entrada
x(t)=e^{-2t}u(t)
e saída
y(t)=3t\,e^{-2t}u(t)+e^{-t}u(t).
Queremos (a) o tempo de propagação t_{p} (menor instante em que a resposta ao impulso deixa de ser zero) e (b) a resposta ao impulso h(t). Para isso, vamos usar transformada de Laplace: calcular X(s) e Y(s), obter H(s)=Y(s)/X(s) e inverter para h(t).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em x(t) e y(t). Para x(t)=e^{-2t}u(t):
X(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-2t}e^{-st}\,dt=\frac{1}{s+2}.
Para y(t)=3t\,e^{-2t}u(t)+e^{-t}u(t):
Y(s)=\mathcal{L}\{3t\,e^{-2t}\}+\mathcal{L}\{e^{-t}\} =\frac{3}{(s+2)^{2}}+\frac{1}{s+1}.

Passo 3

A função de transferência é
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} =\Bigl(\frac{3}{(s+2)^{2}}+\frac{1}{s+1}\Bigr)\,(s+2) =\frac{3}{s+2}+\frac{s+2}{s+1}.
Reescrevendo \frac{s+2}{s+1}=\frac{s+1+1}{s+1}=1+\frac{1}{s+1}, obtemos
H(s)=1+\frac{1}{s+1}+\frac{3}{s+2}.

Passo 4

Invertemos a Transformada de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{1\}=\delta(t),\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t}u(t),\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s+2}\Bigr\}=3e^{-2t}u(t).
Logo
h(t)=\delta(t)+e^{-t}u(t)+3e^{-2t}u(t).

Passo 5

O tempo de propagação t_{p} é o menor instante em que h(t)\neq0. Como h(t)=0 para t<0 e apresenta resposta já em t=0 (devido a \delta(t)), temos
t_{p}=0.

Resposta

(a) t_{p}=0.
(b) h(t)=\delta(t)+e^{-t}u(t)+3e^{-2t}u(t).

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