Uma aplicação financeira promete pagar 42 \% a.a de juros, sendo de um mês o prazo de aplicação, pode-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42 \% a.a. Como:
(a) taxa efetiva;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: a taxa de juros é de 42\% ao ano.
  • Informação: o prazo da aplicação considerado é de um mês.
  • Pergunta (parte (a)): determinar a taxa efetiva (ou seja, a taxa efetiva mensal correspondente a 42\% a.a.).
Nada mais será assumido nesta etapa; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Conceito e ideia para converter taxa anual efetiva em taxa mensal efetiva (a parte didática):
Quando temos uma taxa efetiva anual i_{\text{a}} e queremos a taxa efetiva por período menor (aqui mês) i_{\text{m}}, usamos a ideia de equivalência pelo montante acumulado em um ano. Se aplico R$1 por um mês com taxa i_{\text{m}} e repetir isso por 12 meses com capitalização mensal, o fator de crescimento anual será (1+i_{\text{m}})^{12}. Esse fator deve ser igual ao fator de crescimento dado pela taxa anual efetiva, que é 1+i_{\text{a}}. Então a relação fundamental é:
(1+i_{\text{m}})^{12} = 1+i_{\text{a}}.
Aqui:
  • i_{\text{a}} é a taxa anual efetiva (no nosso caso 0{,}42),
  • i_{\text{m}} é a taxa mensal efetiva que queremos encontrar.

Passo 3

Isolando i_{\text{m}} na relação do passo anterior obtemos a fórmula de conversão:
i_{\text{m}} = (1+i_{\text{a}})^{1/12} - 1.
Substituímos i_{\text{a}} = 0{,}42 (que é 42\% ao ano escrito em forma decimal):
i_{\text{m}} = (1+0{,}42)^{1/12} - 1 = (1{,}42)^{1/12} - 1.

Passo 4

Cálculo numérico (passo a passo, sem pular etapas):
Para calcular (1{,}42)^{1/12} podemos usar logaritmos/número exponencial. Seja x = (1{,}42)^{1/12}. Então
\ln x = \frac{1}{12}\ln(1{,}42).
Calculamos \ln(1{,}42). Usando uma aproximação conhecida,
\ln(1{,}42) \approx 0{,}350657.
Dividindo por 12:
\frac{1}{12}\ln(1{,}42) \approx 0{,}0292214.
Agora exponenciamos para voltar ao x:
x = e^{0{,}0292214}.
Para uma boa aproximação podemos usar a série exponencial truncada e^{y}\approx 1 + y + \tfrac{y^{2}}{2} + \tfrac{y^{3}}{6}. Tomando y=0{,}0292214:
y = 0{,}0292214,\quad y^{2}\approx 0{,}0008539,\quad \tfrac{y^{2}}{2}\approx 0{,}0004270,
y^{3}\approx 0{,}0000249,\quad \tfrac{y^{3}}{6}\approx 0{,}0000042.
Somando os termos:
x \approx 1 + 0{,}0292214 + 0{,}0004270 + 0{,}0000042 \approx 1{,}0296526.
Logo
i_{\text{m}} = x - 1 \approx 0{,}0296526.
Convertendo para percentual:
i_{\text{m}} \approx 2{,}965\% \text{ ao mês (aprox.)}.ê

Passo 5

Observações práticas e comparação com interpretação alternativa:
  • Se a frase " 42\% a.a." for interpretada como taxa anual efetiva (o mais comum quando se pede “taxa efetiva”), a resposta correta é a do passo anterior: i_{\text{m}}\approx 2{,}965\% ao mês.
  • Se, por outro lado, 42\% a.a. fosse uma taxa nominal com capitalização mensal (informação que não foi dada), a taxa mensal nominal seria \tfrac{0{,}42}{12}=0{,}035 (ou 3{,}5\% ao mês). Note que 3{,}5\% é diferente de 2{,}965\%; por isso é importante saber se a taxa anual é efetiva ou nominal.
  • Para usar na prova: se pedirem “taxa efetiva mensal equivalente a i ao ano”, use a fórmula do passo 3; se a taxa anual estiver explicitamente dada como nominal com capitalização mensal, divida por 12.
Força aí, tá ótimo — você já sabe converter entre anual e mensal e a diferença entre efetiva e nominal!

Resposta

i_{\text{mensal}} \approx 2{,}965\%

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