Uma aplicação financeira promete pagar
a.a de juros, sendo de um mês o prazo de aplicação, pode-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de
a.a. Como:
(a) taxa efetiva;
(a) taxa efetiva;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: a taxa de juros é de
ao ano. - Informação: o prazo da aplicação considerado é de um mês.
- Pergunta (parte (a)): determinar a taxa efetiva (ou seja, a taxa efetiva mensal correspondente a
a.a.).
Nada mais será assumido nesta etapa; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Conceito e ideia para converter taxa anual efetiva em taxa mensal efetiva (a parte didática):
Quando temos uma taxa efetiva anual e queremos a taxa efetiva por período menor (aqui mês)
, usamos a ideia de equivalência pelo montante acumulado em um ano. Se aplico R$1 por um mês com taxa
e repetir isso por 12 meses com capitalização mensal, o fator de crescimento anual será
. Esse fator deve ser igual ao fator de crescimento dado pela taxa anual efetiva, que é
. Então a relação fundamental é:
Quando temos uma taxa efetiva anual
Aqui:
-
é a taxa anual efetiva (no nosso caso ), -
é a taxa mensal efetiva que queremos encontrar.
Passo 3
Isolando
na relação do passo anterior obtemos a fórmula de conversão:
Substituímos
(que é
ao ano escrito em forma decimal):
Passo 4
Cálculo numérico (passo a passo, sem pular etapas):
Para calcular podemos usar logaritmos/número exponencial. Seja
. Então
Para calcular
Calculamos
. Usando uma aproximação conhecida,
Dividindo por
:
Agora exponenciamos para voltar ao
:
Para uma boa aproximação podemos usar a série exponencial truncada
. Tomando
:
Somando os termos:
Logo
Convertendo para percentual:
Passo 5
Observações práticas e comparação com interpretação alternativa:
- Se a frase "
a.a." for interpretada como taxa anual efetiva (o mais comum quando se pede “taxa efetiva”), a resposta correta é a do passo anterior: ao mês. - Se, por outro lado,
a.a. fosse uma taxa nominal com capitalização mensal (informação que não foi dada), a taxa mensal nominal seria (ou ao mês). Note que é diferente de ; por isso é importante saber se a taxa anual é efetiva ou nominal. - Para usar na prova: se pedirem “taxa efetiva mensal equivalente a
ao ano”, use a fórmula do passo 3; se a taxa anual estiver explicitamente dada como nominal com capitalização mensal, divida por 12.
Força aí, tá ótimo — você já sabe converter entre anual e mensal e a diferença entre efetiva e nominal!