Sendo 24 \% a. a a taxa nominal de juros cobrada pelo banco X, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
(b) trimestral;

Passo 1

O enunciado dá a taxa nominal anual do banco X igual a 24\% a.a. e pede o custo efetivo anual quando a capitalização é trimestral.
Informações relevantes que temos:
  • Taxa nominal anual: \,0,24 (ou 24\%).
  • Período de capitalização: trimestral, portanto há m=4 períodos por ano.
    A pergunta é: qual é a taxa efetiva anual correspondente a essa taxa nominal com capitalização trimestral?

Passo 2

Entender o que é taxa nominal e o que é taxa efetiva (explicação didática):
  • A taxa nominal anual ( i_{\text{nom}}) é um número anual que indica a soma dos juros distribuídos ao longo dos períodos, mas por si só não diz quanto efetivamente cresce um investimento em um ano quando há capitalização mais de uma vez por ano.
  • A taxa periódica ( i_{\text{per}}) é a taxa aplicada a cada período de capitalização. Quando a capitalização é trimestral, cada trimestre recebe a mesma taxa periódica. A relação é:
i_{\text{per}}=\frac{i_{\text{nom}}}{m},
onde m é o número de períodos por ano. Aqui i_{\text{nom}} é a taxa nominal anual e m é o número de capitalizações anuais.

Passo 3

Calcular a taxa periódica trimestral com os valores do enunciado:
Temos \,i_{\text{nom}}=0,24 e m=4. Então
i_{\text{trimestral}}=\frac{0,24}{4}=0,06.
Em porcentagem isso é 6\% ao trimestre.

Passo 4

Explicar a fórmula da taxa efetiva anual:
Se eu aplico 1 unidade de capital, após um trimestre ela vira 1+i_{\text{trimestral}}. Após dois trimestres vira (1+i_{\text{trimestral}})^2. Após m trimestres (um ano) vira (1+i_{\text{trimestral}})^m. A taxa efetiva anual i_{\text{ef}} é o aumento percentual em um ano, ou seja:
i_{\text{ef}}=(1+i_{\text{trimestral}})^m-1.
Aqui i_{\text{trimestral}} é a taxa por trimestre e m=4.

Passo 5

Aplicar a fórmula com os valores numéricos e fazer as contas passo a passo (sem pular etapas):
Primeiro calculemos (1+0,06):
1+0,06=1,06.
Agora elevamos à quarta potência. Podemos fazer em etapas:
1,06^2=1,06\times1,06=1,1236.
1,06^3=1,1236\times1,06=1,191016.
1,06^4=1,191016\times1,06=1,26247696.
Agora aplicamos a fórmula da taxa efetiva:
i_{\text{ef}}=1,06^4-1=1,26247696-1=0,26247696.

Passo 6

Interpretar o resultado e expressar em porcentagem (explicação de leitura):
O valor 0,26247696 é a taxa efetiva anual em forma decimal. Em porcentagem multiplicamos por 100\%:
i_{\text{ef}}=0,26247696\quad\text{equivale a}\quad26,247696\%.
Podemos arredondar para um número prático, por exemplo para quatro casas decimais: 26,2477\%.

Resposta

26,2477\%

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