Questão 79 (CESGRANRIO - CEF). Para ampliar o capital de giro de um novo negócio, um microempreendedor tomou um empréstimo no valor de \mathrm{R} \ 20.000 , 00 , em janeiro de 2021 , a uma taxa de juros de5 % ao mês, no regime de juros compostos. Exatamente dois meses depois, em março de 2021 , pagouêç60 % do valor do empréstimo, ou seja, dosé\mathrm{R} $20.000$, 00 , e liquidou tudo o que devia desse empréstimo em abril de 2021. A quantia paga, em abril de 2021, que liquidou a referida dívida, em reais, foi de ?
“Deus não escolhe os capacitados, capacita os escolhidos”

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Empréstimo inicial: P_0 = R\$20.000{,}00 (janeiro de 2021).
  • Taxa de juros: i = 5\% ao mês, regime de juros compostos.
  • Em março de 2021 (exatamente dois meses após o empréstimo) foi pago 60\% do valor do empréstimo, ou seja, foi pago 0{,}6\cdot R\$20.000{,}00. O enunciado diz explicitamente que os 60\% são sobre os R\$20.000{,}00.
  • Em abril de 2021 (um mês depois de março) o microempreendedor pagou a quantia que liquidou o que restava da dívida.
  • O que se pede: calcular a quantia paga em abril de 2021 que liquidou a dívida.

Passo 2

Conceito que vamos usar — juros compostos (aulas mastigadas): quando aplicamos juros compostos, a quantia acumulada após n períodos é dada pela fórmula
A = P(1+i)^n,
onde:
  • A é o montante acumulado após n períodos;
  • P é o principal inicial (valor emprestado ou investido);
  • i é a taxa por período (aqui, mensal — então i=5\% = 0{,}05);
  • n é o número de períodos (número de meses, neste problema).
Exemplo rápido: se P=100 e i=10\% em 2 meses, A=100(1{,}1)^2=121. Ou seja, juros incidem sobre juros.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso problema: primeiro calculemos quanto devia exatamente em março, antes do pagamento de março.
  • Foram decorridos n=2 meses desde janeiro até março, então o montante em março é
A_2 = P_0(1+i)^2 = R\$20.000{,}00\cdot(1{,}05)^2.
  • Calculemos (1{,}05)^2:
(1{,}05)^2 = 1{,}05\cdot1{,}05 = 1{,}1025.
  • Então
A_2 = R\$20.000{,}00\cdot 1{,}1025 = R\$22.050{,}00,
porque 20.000\cdot0{,}1025 = 2.050 e 20.000+2.050=22.050.

Passo 4

Agora aplicamos o pagamento feito em março. O enunciado diz que foi pago 60\% do valor do empréstimo inicial, isto é:
\text{Pagamento em março} = 0{,}6\cdot R\$20.000{,}00 = R\$12.000{,}00.ç
O saldo devedor imediatamente após esse pagamento (em março, depois de pagar) é
S_{\text{março}} = A_2 - R\$12.000{,}00 = R\$22.050{,}00 - R\$12.000{,}00 = R\$10.050{,}00.ç

Passo 5

Esse saldo de R\$10.050{,}00 ficou um mês (de março a abril) sujeito aos juros de 5\%. Portanto o valor devido em abril, que foi o que ele pagou para liquidar a dívida, é
\text{Pagamento em abril} = S_{\text{março}}\cdot(1+i) = R\$10.050{,}00\cdot(1{,}05).ç
Calculemos:
R\$10.050{,}00\cdot0{,}05 = R\$502{,}50,
então
R\$10.050{,}00 + R\$502{,}50 = R\$10.552{,}50.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: você sempre pode tratar pagamentos em momentos intermediários como redução do montante acumulado naquele instante. A sequência é: acumula até o instante do pagamento, subtrai o pagamento, e acumula novamente o saldo até o próximo pagamento. Isso evita enganos como tentar descontar a parcela sem considerar os juros já acumulados.

Resposta

R\$10.552{,}50

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