1. Considere a sequência definida por a_{1}=2 e a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right). Mostre que é convergente e encontre seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{1}=2, \qquad a_{n+1}=\frac12\Bigl(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\Bigr)
e pede para mostrar que (a_{n}) converge e achar seu limite. O conteúdo envolvido é análise de sequências recursivas: demonstração de monotonicidade, de existência de limite (por ser limitada e monótona) e cálculo do valor do limite pela passagem ao limite na relação de recorrência.

Passo 2

Primeiro notamos que, por construção, a_{n}>0 para todo n. Para verificar que (a_{n}) é decrescente quando a_{n}>\sqrt2, calculamos
a_{n+1}-a_{n} =\frac12\Bigl(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\Bigr)-a_{n} =\frac{2 - a_{n}^{2}}{2\,a_{n}} =-\frac{(a_{n}-\sqrt2)(a_{n}+\sqrt2)}{2\,a_{n}}.
Se a_{n}>\sqrt2, então (a_{n}-\sqrt2)>0 e (a_{n}+\sqrt2)>0, logo a_{n+1}-a_{n}<0. Assim, a partir de a_{1}=2>\sqrt2, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Agora mostramos que (a_{n}) é limitada inferiormente por \sqrt2. Observe que
a_{n+1}-\sqrt2 =\frac12\Bigl(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\Bigr)-\sqrt2 =\frac{a_{n}^{2}+2-2\sqrt2\,a_{n}}{2\,a_{n}} =\frac{(a_{n}-\sqrt2)^{2}}{2\,a_{n}}\ge0.
Logo a_{n+1}\ge\sqrt2. Por indução, todos os termos satisfazem a_{n}\ge\sqrt2. Concluímos que (a_{n}) é decrescente e limitada abaixo, portanto converge por teorema clássico de sequências.

Passo 4

Sejam L=\lim_{n\to\infty}a_{n}. Tomando limite na definição recursiva, obtemos
L =\frac12\Bigl(L+\frac{2}{L}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad 2L=L+\frac{2}{L} \quad\Longrightarrow\quad L^{2}=2
Como L>0, temos L=\sqrt2.

Resposta

\sqrt2

Exercícios relacionados