- Considere a sequência definida por
e
. Mostre que é convergente e encontre seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar que
converge e achar seu limite. O conteúdo envolvido é análise de sequências recursivas: demonstração de monotonicidade, de existência de limite (por ser limitada e monótona) e cálculo do valor do limite pela passagem ao limite na relação de recorrência.
Passo 2
Primeiro notamos que, por construção,
para todo
. Para verificar que
é decrescente quando
, calculamos
Se
, então
e
, logo
. Assim, a partir de
, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Agora mostramos que
é limitada inferiormente por
. Observe que
Logo
. Por indução, todos os termos satisfazem
. Concluímos que
é decrescente e limitada abaixo, portanto converge por teorema clássico de sequências.
Passo 4
Sejam
. Tomando limite na definição recursiva, obtemos
Como
, temos
.