Aplicação do Produto Escalar ao Código ISBN - O código ISBN (International Standard Book Number) é um indicativo numérico utilizado internacionalmente para a identificação de livros. Consiste de dez dígitos. Os nove primeiros dígitos deste número estão divididos em três grupos: o primeiro grupo representa o país no qual originou o livro, o segundo identifica a editora que o publicou e o terceiro identifica o título do próprio livro. O décimo dígito denominado dígito de verificação, é calculado a partir dos nove primeiros e é utilizado para garantir que não há erro de digitação nos nove primeiros, por exemplo, numa transmissão eletrônica do ISBN pela Internet. Veja a seguir como calcular o dígito verificador:
(1) Considere os 9 primeiros dígitos do ISBN como um vetor b de R^9 e seja a o vetor a=(1,2,3,4,5,6,7,8,9).
(2) Calcule o produto escalar a cdot b.
(3) Divida a cdot b por 11, produzindo um resto c que é um inteiro entre 0 e 10 . O dígito de verificação é tomado como sendo c com a ressalva de trocar 10 por X para evitar mais um dígito.
Em cada parte, determine se o número dado é um ISBN válido conferindo seu dígito de verificação.
0-471-06368-1

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o ISBN “0-471-06368-1” é válido, calculando o dígito de verificação de um ISBN-10 usando produto escalar e resto da divisão por 11. O conteúdo aplicado é álgebra vetorial (produto escalar) e aritmética modular.

Passo 2

Extraímos os nove primeiros dígitos e montamos o vetor
b=(0,4,7,1,0,6,3,6,8)
e usamos o vetor
a=(1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Passo 3

Calculamos o produto escalar
acdotb =1cdot0+2cdot4+3cdot7+4cdot1+5cdot0+6cdot6+7cdot3+8cdot6+9cdot8
Fazendo as multiplicações e somas, obtemos
acdotb=0+8+21+4+0+36+21+48+72=210

Passo 4

Dividimos 210 por 11 e obtemos resto
210div11=19 quociente, resto c=210-11cdot19=1
Logo, o dígito de verificação calculado é c=1.

Passo 5

O décimo dígito fornecido no ISBN é “1”, que coincide com o c calculado. Portanto o ISBN está correto.

Resposta

O ISBN “0-471-06368-1” é válido.

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