Dica rápida para a prova: sempre tente fatorar constantes (aqui 18) e identificar um padrão (\text{constante})\cdot r^{n} — isso indica uma série geométrica.
Passo 3
Reconhecendo a série geométrica.
Uma série geométrica infinita tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}. Ela converge se e somente se |r|<1 e, nesse caso, sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}=\dfrac{a}{1-r}.
No nosso caso temos \sum_{n=1}^{\infty} 18\left(\dfrac{2}{9}\right)^{n}. Aqui:
o coeficiente multiplicativo é 18,
a razão comum é r=\dfrac{2}{9}.
Antes de aplicar a fórmula, verificamos a condição de convergência:
\left|\dfrac{2}{9}\right|=\dfrac{2}{9}<1,
logo a série converge.
Para usar a fórmula mais comum (que começa em n=0), recorde que
Se quiser ver em número decimal (apenas para intuição), \dfrac{36}{7}\approx 5,142857\ldots, mas na prova prefira a forma fracionária exata \dfrac{36}{7}.
Passo 5
Resumo do raciocínio que você deve levar pra prova (passo-a-passo rápido):
Simplifique o termo geral usando regras de potência para obter algo da forma C\cdot r^{n}.
Verifique |r|<1 para garantir convergência.
Use a fórmula \sum_{n=1}^{\infty} C r^{n}=C\cdot \dfrac{r}{1-r}.
Simplifique aritmeticamente até a forma final.
Força aí — pratica esse padrão com outras séries geométricas e fica mais automático na prova!