Aplicações em análise de Fourier e sinais discretos. Calcule:
\sum_{n=1}^{\infty} 9^{-n+1} 2^{n+1}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a soma infinita
\sum_{n=1}^{\infty} 9^{-n+1} 2^{n+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O somatório é sobre n variando de 1 até \infty.
  • Cada termo do somatório é 9^{-n+1} 2^{n+1}.
  • Os números envolvidos são 9 e 2 e aparecem em potências dependentes de n.
  • Precisamos avaliar se essa série converge e, se convergir, encontrar seu valor numérico.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do termo geral usando as regras de potências (explico cada passo pra você conseguir repetir na prova):
Regras usadas:
  • Para quaisquer bases a e expoentes x,y vale a^{x+y}=a^x a^y.
  • a^{-k} = 1/a^{k}.
  • Para produtos de potências com a mesma expoente, a^n b^n=(ab)^n.
Agora aplicando isso ao termo 9^{-n+1} 2^{n+1}.
Primeiro reescrevo os expoentes de forma mais clara:
9^{-n+1} = 9^{1-n} \qquad\text{e}\qquad 2^{n+1}=2\cdot 2^{n}.
Multiplicando:
9^{1-n}2^{n+1} = 9^{1-n}\cdot 2\cdot 2^{n}.
Separe o fator constante (não dependente de n) e o que depende de n:
9^{1-n}\cdot 2\cdot 2^{n} = 2\cdot 9^{1-n}\cdot 2^{n}.
Agora use 9^{1-n}=9\cdot 9^{-n}=9\cdot \left(\dfrac{1}{9}\right)^{n}. Então
2\cdot 9^{1-n}\cdot 2^{n} = 2\cdot 9\cdot \left(\dfrac{1}{9}\right)^{n}\cdot 2^{n}.
Combine \left(\dfrac{1}{9}\right)^{n} com 2^{n} usando a^n b^n=(ab)^n:
2\cdot 9\cdot \left(\dfrac{2}{9}\right)^{n} = 18\left(\dfrac{2}{9}\right)^{n}.
Portanto cada termo do somatório é
9^{-n+1}2^{n+1}=18\left(\dfrac{2}{9}\right)^{n}.
Dica rápida para a prova: sempre tente fatorar constantes (aqui 18) e identificar um padrão (\text{constante})\cdot r^{n} — isso indica uma série geométrica.

Passo 3

Reconhecendo a série geométrica.
Uma série geométrica infinita tem a forma \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}. Ela converge se e somente se |r|<1 e, nesse caso, sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}=\dfrac{a}{1-r}.
No nosso caso temos \sum_{n=1}^{\infty} 18\left(\dfrac{2}{9}\right)^{n}. Aqui:
  • o coeficiente multiplicativo é 18,
  • a razão comum é r=\dfrac{2}{9}.
Antes de aplicar a fórmula, verificamos a condição de convergência:
\left|\dfrac{2}{9}\right|=\dfrac{2}{9}<1,
logo a série converge.
Para usar a fórmula mais comum (que começa em n=0), recorde que
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}-1=\dfrac{1}{1-r}-1=\dfrac{r}{1-r}.
Assim, para termos com coeficiente 18 vale
\sum_{n=1}^{\infty} 18\,r^{n}=18\cdot \dfrac{r}{1-r}.
No nosso problema r=\dfrac{2}{9}.

Passo 4

Cálculo numérico da soma usando a fórmula apresentada.
Substituindo r=\dfrac{2}{9} em
\sum_{n=1}^{\infty} 18\left(\dfrac{2}{9}\right)^{n}=18\cdot \dfrac{\dfrac{2}{9}}{1-\dfrac{2}{9}}.
Calcule o denominador:
1-\dfrac{2}{9}=\dfrac{9}{9}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}.
Agora a fração:
\dfrac{\dfrac{2}{9}}{\dfrac{7}{9}}=\dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{9}{7}=\dfrac{2}{7}.
Multiplicando pelo 18:
18\cdot \dfrac{2}{7}=\dfrac{36}{7}.
Se quiser ver em número decimal (apenas para intuição), \dfrac{36}{7}\approx 5,142857\ldots, mas na prova prefira a forma fracionária exata \dfrac{36}{7}.

Passo 5

Resumo do raciocínio que você deve levar pra prova (passo-a-passo rápido):
  1. Simplifique o termo geral usando regras de potência para obter algo da forma C\cdot r^{n}.
  2. Verifique |r|<1 para garantir convergência.
  3. Use a fórmula \sum_{n=1}^{\infty} C r^{n}=C\cdot \dfrac{r}{1-r}.
  4. Simplifique aritmeticamente até a forma final.
Força aí — pratica esse padrão com outras séries geométricas e fica mais automático na prova!

Resposta

\dfrac{36}{7}

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