Aplicações em análise de Fourier e sinais discretos. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a soma infinita
e pede que a gente calcule o valor dessa soma (ou seja, encontrar um número fechado que corresponda à soma dos termos desde
até o infinito).
Passo 2
Primeiro conceito necessário: a série geométrica infinita e sua fórmula.
Uma série geométrica tem a forma
Uma série geométrica tem a forma
onde
é o primeiro termo e
é a razão (a constante multiplicativa entre termos consecutivos). Se
, a série converge e sua soma é
Explicando cada letra:
é o valor do termo correspondente a
,
é a razão, e a condição
garante que
quando
, o que permite obter a soma finita. Um raciocínio rápido que justifica a fórmula é somar os primeiros
termos e usar a identidade da soma geométrica finita:
e então fazer
; se
então
e sobra
.
Um caso útil que vamos usar é a soma a partir de um índice
(não necessariamente
):
que é um corolário direto da fórmula anterior com
.
Passo 3
Agora identificamos nossa série com uma geométrica. Note que
Logo a soma é
Aqui a razão é
. Verificamos a condição de convergência:
, então a série converge e podemos usar a fórmula da soma a partir de
:
Passo 4
Aplicando com
, calculamos
:
Portanto
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
multiplicando numerador e denominador por
. Agora racionalizamos multiplicando por
:
Como
, isso vira
Também podemos escrever de forma equivalente
Passo 6
Pequena checagem numérica para ficar tranquilo:
, então a resposta
. Se calcularmos a soma truncada dos primeiros termos a partir de
com
obtemos um valor próximo, confirmando que faz sentido. Força aí — essa foi direta porque é uma geométrica; você já aprendeu uma boa técnica que aparece com frequência em sinais discretos!