Aplicações em análise de Fourier e sinais discretos. Calcule:
\sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{2}^{-n}

Passo 1

O enunciado dá a soma infinita
\sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{2}^{-n}
e pede que a gente calcule o valor dessa soma (ou seja, encontrar um número fechado que corresponda à soma dos termos desde n=2 até o infinito).

Passo 2

Primeiro conceito necessário: a série geométrica infinita e sua fórmula.
Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde a é o primeiro termo e r é a razão (a constante multiplicativa entre termos consecutivos). Se |r|<1, a série converge e sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\frac{a}{1-r}.
Explicando cada letra: a é o valor do termo correspondente a n=0, r é a razão, e a condição |r|<1 garante que r^{n}\to0 quando n\to\infty, o que permite obter a soma finita. Um raciocínio rápido que justifica a fórmula é somar os primeiros N+1 termos e usar a identidade da soma geométrica finita:
\sum_{n=0}^{N} a r^{n}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r},
e então fazer N\to\infty; se |r|<1 então r^{N+1}\to0 e sobra \dfrac{a}{1-r}.
Um caso útil que vamos usar é a soma a partir de um índice k (não necessariamente 0):
\sum_{n=k}^{\infty} r^{n}=\frac{r^{k}}{1-r},
que é um corolário direto da fórmula anterior com a=r^{k}.

Passo 3

Agora identificamos nossa série com uma geométrica. Note que
\sqrt{2}^{-n}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}.
Logo a soma é
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}.
Aqui a razão é r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Verificamos a condição de convergência: \left|r\right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1, então a série converge e podemos usar a fórmula da soma a partir de k=2:
\sum_{n=2}^{\infty} r^{n}=\frac{r^{2}}{1-r}.

Passo 4

Aplicando com r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, calculamos r^{2}:
r^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\sum_{n=2}^{\infty}\sqrt{2}^{-n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}.

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1},
multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}. Agora racionalizamos multiplicando por \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}:
\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{2-1}.
Como 2-1=1, isso vira
\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) =\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{2} =\frac{2+\sqrt{2}}{2}.
Também podemos escrever de forma equivalente
\frac{2+\sqrt{2}}{2}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Pequena checagem numérica para ficar tranquilo: \sqrt{2}\approx1,4142, então a resposta 1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx1+0,7071=1,7071. Se calcularmos a soma truncada dos primeiros termos a partir de n=2 com r=1/\sqrt{2} obtemos um valor próximo, confirmando que faz sentido. Força aí — essa foi direta porque é uma geométrica; você já aprendeu uma boa técnica que aparece com frequência em sinais discretos!

Resposta

\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}

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