Aplicações na análise de Fourier. Use as séries de Maclaurin da exponencial
e das exponenciais complexas
e
para obter:
Compare com as séries de
e
e estabeleça as relações de Euler.
Passo 1
O enunciado pede que a gente use as séries de Maclaurin de
e das exponenciais complexas
e
para obter as expressões
comparando-as com as séries de
e
e, a partir daí, estabelecer as relações de Euler.
Informações dadas (ou que usaremos diretamente):
Informações dadas (ou que usaremos diretamente):
Substituiremos
e
para obter as séries de
e
. Também vamos usar (como referência para comparar) as séries de Maclaurin conhecidas de
e
:
Passo 2
Escrevo a série de
obtida substituindo
em
:
Explico a notação e a regra usada: cada termo é
. Lembre que
é a unidade imaginária, com
. Portanto potências de
se repetem com período 4:
,
,
,
,
, etc.
Passo 3
Agora separamos os termos pares e ímpares em
. Para
(pares) temos
logo os termos pares em
são
Para
(ímpares) temos
logo os termos ímpares em
são
Portanto, reorganizando,
Passo 4
Faço o mesmo para
. Substituindo
na série de
obtemos
Novamente separamos pares e ímpares. Para potências pares
temos
(porque
). Para potências ímpares
temos
. Assim
Passo 5
Agora calculo
. Somando as duas expressões obtidas nos passos anteriores, os termos ímpares (aqueles multiplicados por
) aparecem com sinais opostos e se cancelam, enquanto os termos pares somam:
Mas essa série, olhando para o que listamos no Passo 1, é exatamente a série de Maclaurin de
. Portanto acabamos de obter
Intuitivamente: a média simétrica de
e
elimina a parte imaginária e deixa a parte real que é a série de
.
Passo 6
Agora calculo
. Subtraindo
de
os termos pares (reais) se cancelam e os termos ímpares se somam (ficando com um fator
):
Dividindo ambos os lados por
dá
E essa série é exatamente a série de
(ver Passo 1). Assim
Intuitivamente: a diferença anti-simétrica entre
e
, dividida por
, isola a parte imaginária normalizada, que coincide com
.
Passo 7
Com as duas identidades acima podemos montar a fórmula exponencial de Euler. Se somarmos as expressões
obtemos (somando membro a membro)
Logo a famosa relação de Euler se estabelece:
De modo equivalente, isolando
ou reorganizando, também temos
.
Passo 8
Pequena verificação numérica simbólica (pra ficar mais confiante): tomando
,
o que leva à identidade célebre
. Isso é apenas para ver que as fórmulas batem com valores conhecidos.