Aplicações na análise de Fourier. Use as séries de Maclaurin da exponencial e^{x}=1+x+ \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots e das exponenciais complexas e^{j \theta} e e^{-j \theta} para obter:
\frac{e^{j \theta}+e^{-j \theta}}{2} \text { e } \frac{e^{j \theta}-e^{-j \theta}}{2 j}
Compare com as séries de \sin (\theta) e \cos (\theta) e estabeleça as relações de Euler.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use as séries de Maclaurin de e^{x} e das exponenciais complexas e^{j\theta} e e^{-j\theta} para obter as expressões
\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j},
comparando-as com as séries de \sin(\theta) e \cos(\theta) e, a partir daí, estabelecer as relações de Euler.
Informações dadas (ou que usaremos diretamente):
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
Substituiremos x=j\theta e x=-j\theta para obter as séries de e^{j\theta} e e^{-j\theta}. Também vamos usar (como referência para comparar) as séries de Maclaurin conhecidas de \cos(\theta) e \sin(\theta):
\cos(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} \qquad\text{e}\qquad \sin(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 2

Escrevo a série de e^{j\theta} obtida substituindo x=j\theta em e^{x}:
e^{j\theta}=1+(j\theta)+\frac{(j\theta)^{2}}{2!}+\frac{(j\theta)^{3}}{3!}+\frac{(j\theta)^{4}}{4!}+\cdots
Explico a notação e a regra usada: cada termo é \dfrac{(j\theta)^{n}}{n!}. Lembre que j é a unidade imaginária, com j^{2}=-1. Portanto potências de j se repetem com período 4: j^{0}=1, j^{1}=j, j^{2}=-1, j^{3}=-j, j^{4}=1, etc.

Passo 3

Agora separamos os termos pares e ímpares em e^{j\theta}. Para n=2k (pares) temos
(j\theta)^{2k}=j^{2k}\theta^{2k}=(j^{2})^{k}\theta^{2k}=(-1)^{k}\theta^{2k},
logo os termos pares em e^{j\theta} são
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!}.
Para n=2k+1 (ímpares) temos
(j\theta)^{2k+1}=j^{2k+1}\theta^{2k+1}=j\,(j^{2})^{k}\theta^{2k+1}=j(-1)^{k}\theta^{2k+1},
logo os termos ímpares em e^{j\theta} são
j\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Portanto, reorganizando,
e^{j\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!} \;+\; j\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 4

Faço o mesmo para e^{-j\theta}. Substituindo x=-j\theta na série de e^{x} obtemos
e^{-j\theta}=1+(-j\theta)+\frac{(-j\theta)^{2}}{2!}+\frac{(-j\theta)^{3}}{3!}+\cdots
Novamente separamos pares e ímpares. Para potências pares (2k) temos ( -j\theta)^{2k}=(-1)^{2k}j^{2k}\theta^{2k}=j^{2k}\theta^{2k}=(-1)^{k}\theta^{2k} (porque (-1)^{2k}=1). Para potências ímpares (2k+1) temos ( -j\theta)^{2k+1}=-j^{2k+1}\theta^{2k+1}=-j(-1)^{k}\theta^{2k+1}. Assim
e^{-j\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!} \;-\; j\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 5

Agora calculo \dfrac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}. Somando as duas expressões obtidas nos passos anteriores, os termos ímpares (aqueles multiplicados por j) aparecem com sinais opostos e se cancelam, enquanto os termos pares somam:
\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2} =\frac{1}{2}\Bigg(2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!}\Bigg) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!}.
Mas essa série, olhando para o que listamos no Passo 1, é exatamente a série de Maclaurin de \cos(\theta). Portanto acabamos de obter
\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}=\cos(\theta).
Intuitivamente: a média simétrica de e^{j\theta} e e^{-j\theta} elimina a parte imaginária e deixa a parte real que é a série de \cos(\theta).

Passo 6

Agora calculo \dfrac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}. Subtraindo e^{-j\theta} de e^{j\theta} os termos pares (reais) se cancelam e os termos ímpares se somam (ficando com um fator 2j):
e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Dividindo ambos os lados por 2j
\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.
E essa série é exatamente a série de \sin(\theta) (ver Passo 1). Assim
\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}=\sin(\theta).
Intuitivamente: a diferença anti-simétrica entre e^{j\theta} e e^{-j\theta}, dividida por 2j, isola a parte imaginária normalizada, que coincide com \sin(\theta).

Passo 7

Com as duas identidades acima podemos montar a fórmula exponencial de Euler. Se somarmos as expressões
\cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2} \qquad\text{e}\qquad j\sin(\theta)=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2},
obtemos (somando membro a membro)
\cos(\theta)+j\sin(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}+\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2}=e^{j\theta}.
Logo a famosa relação de Euler se estabelece:
e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta).
De modo equivalente, isolando e^{-j\theta} ou reorganizando, também temos e^{-j\theta}=\cos(\theta)-j\sin(\theta).

Passo 8

Pequena verificação numérica simbólica (pra ficar mais confiante): tomando \theta=\pi,
e^{j\pi}=\cos(\pi)+j\sin(\pi)=-1+ j\cdot 0=-1,
o que leva à identidade célebre e^{j\pi}+1=0. Isso é apenas para ver que as fórmulas batem com valores conhecidos.

Resposta

\displaystyle \cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}
\displaystyle \sin(\theta)=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}
\displaystyle e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)

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