Uma das aplicações de derivadas parciais é determinar pontos de máximo e mínimo de funções de duas variáveis. Uma das formas é determinar \mathrm{D}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial^{2} f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial x \partial y} \\\ \frac{\partial^{2} f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial y^{2}}\end{array}\right|
a)Se \mathrm{D}>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}>0 \Rightarrow f(x, y) em um mínimo relativo em \mathrm{P}_{o}\left(x_{0}, y_{0}\right)
b) Se \mathrm{D}>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}<0 \Rightarrow f(x, y) em um máximo relativo em \mathrm{P}_{o}\left(x_{0}, y_{0}\right)
c) Se \mathrm{D}<0 \Rightarrow f(x, y) tem um ponto de sela em \mathrm{P}_{o}\left(x_{0}, y_{0}\right).Ponto crítico onde não ocorre nem máximo nem mínimo.
d) Se \mathrm{D}=0, nada se pode afirmar neste ponto
Vamos analisar f(x, y)=y^{2}-x^{2} na origem.
Faça um gráfico no geogebra. Gráfico deve constar no trabalho em perspectiva que apareça a “sela”.
Encontre os pontos críticos da função f(x, y)=4 x y-x^{4}-y^{4}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas; vou separar claramente:
Primeiro: analisar a função f(x,y)=y^{2}-x^{2} na origem e pedir para construir um gráfico no GeoGebra mostrando a “sela”.
Segundo: encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4} (ou seja, localizar todos os pares (x,y) onde o gradiente é zero e, depois, classificá-los).
Informações dadas:
Duas funções ordinárias de duas variáveis: f(x,y)=y^{2}-x^{2} e f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4}.
Para a primeira função deve-se mostrar graficamente a forma de sela (perspectiva 3D no GeoGebra).
Para a segunda, deve-se achar pontos críticos (resolver \nabla f=0) e classificar com o teste de derivadas segundas.
Passo 2
Breve revisão didática (passo-a-passo do teste de derivadas segundas para funções de duas variáveis).
Definição de ponto crítico: um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras são nulas ali:\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.Isso é o análogo do f'(x)=0 em uma variável.
Matriz Hessiana e determinante D: calcule as segundas derivadas parciais no ponto (x_0,y_0):H=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_0,y_0) & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\\[6pt] \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0) & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_0,y_0) \end{pmatrix}, \qquad D=\det H=\left(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right)\left(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right)-\left(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\right)^{2}.
Interpretação do teste (isso replica as regras do enunciado):
Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_0,y_0)>0 então há um mínimo relativo em (x_0,y_0).
Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_0,y_0)<0 então há um máximo relativo.
Se D<0 então o ponto é de sela.
Se D=0 o teste é inconclusivo.
Intuição geométrica da sela: em uma sela a função aumenta numa direção e diminui em outra. Uma forma prática de verificar é olhar se, ao restringir a função a retas que passam pela origem, obtemos máximos em algumas direções e mínimos em outras.]
Passo 3
Análise de f(x,y)=y^{2}-x^{2} na origem (mostrando que é uma sela).
Calcule as derivadas parciais primeiras:\frac{\partial f}{\partial x}=-2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.No ponto (0,0) ambas valem zero, logo (0,0) é ponto crítico.
Segundas derivadas:\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=0.Então o determinante Hessiano éD = (-2)\cdot 2 - 0^{2} = -4 < 0.Pelo teste, D<0 implica que (0,0) é um ponto de sela.
Intuição extra (fatiamento): restrinja a função às retas:
Sobre a reta y=0: f(x,0) = -x^{2}, que tem máximo em x=0 (quando variamos por x).
Sobre a reta x=0: f(0,y)=y^{2}, que tem mínimo em y=0.
Essas direções mostram comportamento oposto — portanto sela: em algumas direções é máximo local, em outras é mínimo local.
Passo 4
Como fazer o gráfico no GeoGebra (passo-a-passo para obter a “sela” em perspectiva 3D).
Abra GeoGebra e selecione a vista 3D (3D Graphics).
Na linha de entrada digite a função em forma de superfície, por exemplo:f(x,y)=y^{2}-x^{2}(No GeoGebra, escrever exatamente: f(x,y) = y^2 - x^2).
Ajustes de visualização para mostrar a sela em perspectiva:
Rode a cena com o mouse (arrastar a vista) para obter um ângulo oblíquo (por exemplo, mover para que se veja tanto eixo x quanto y obliquamente).
Use zoom para enquadrar a região próxima à origem, por exemplo -2\le x\le 2 e -2\le y\le 2.
Ative malha e eixos se desejar (opções de 3D Graphics -> Grid / Axes).
Opcional: desenhe curvas de nível (Trace or Contour) para reforçar a ideia.
Para capturar a imagem em perspectiva: use a ferramenta de exportar/guardar imagem do GeoGebra 3D. Certifique-se de que a vista mostre claramente a crista e a cava da sela (útil inclinar ligeiramente para cima e para um dos lados).
Observação prática: se quiser uma linha-guia, plotar as curvas y=x e y=-x ajuda a ver as direções onde a superfície cruza o nível zero.
Passo 5
Encontrar pontos críticos de f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4}: cálculo do gradiente e resolução do sistema.
Condição de ponto crítico: igualar a zero ambas:4(y-x^{3})=0 \quad\Rightarrow\quad y=x^{3},
4(x-y^{3})=0 \quad\Rightarrow\quad x=y^{3}.
Substitua y=x^{3} na segunda equação x=y^{3}:x=(x^{3})^{3}=x^{9}.Isso leva ax^{9}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x\,(x^{8}-1)=0.As soluções reais de x^{8}=1 são x=1 e x=-1 (porque potências de ordem par de -1 são 1). Assim:x=0,\quad x=1,\quad x=-1.
Encontre os correspondentes y usando y=x^{3}:x=0 \Rightarrow y=0; \qquad x=1\Rightarrow y=1; \qquad x=-1\Rightarrow y=-1.
Portanto os pontos críticos são (0,0), (1,1) e (-1,-1).
Passo 6
Classificação dos pontos críticos usando as segundas derivadas.
o que confirma que os pontos (\pm1,\pm1) são picos locais (valores positivos maiores que o entorno imediato em várias direções) enquanto (0,0) não é extremo (sela).
Resposta
Para f(x,y)=y^{2}-x^{2}: (0,0) é ponto de sela.
Pontos críticos de f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4}: (0,0) (sela), (1,1) (máximo relativo), (-1,-1) (máximo relativo).