Uma das aplicações de derivadas parciais é determinar pontos de máximo e mínimo de funções de duas variáveis. Uma das formas é determinar \mathrm{D}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial^{2} f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial x \partial y} \\\ \frac{\partial^{2} f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial y^{2}}\end{array}\right|
a)Se \mathrm{D}>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}>0 \Rightarrow f(x, y) em um mínimo relativo em \mathrm{P}_{o}\left(x_{0}, y_{0}\right)
b) Se \mathrm{D}>0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}<0 \Rightarrow f(x, y) em um máximo relativo em \mathrm{P}_{o}\left(x_{0}, y_{0}\right)
c) Se \mathrm{D}<0 \Rightarrow f(x, y) tem um ponto de sela em \mathrm{P}_{o}\left(x_{0}, y_{0}\right).Ponto crítico onde não ocorre nem máximo nem mínimo.
d) Se \mathrm{D}=0, nada se pode afirmar neste ponto
Vamos analisar f(x, y)=y^{2}-x^{2} na origem.
Faça um gráfico no geogebra. Gráfico deve constar no trabalho em perspectiva que apareça a “sela”.
Encontre os pontos críticos da função f(x, y)=4 x y-x^{4}-y^{4}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas; vou separar claramente:
  • Primeiro: analisar a função f(x,y)=y^{2}-x^{2} na origem e pedir para construir um gráfico no GeoGebra mostrando a “sela”.
  • Segundo: encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4} (ou seja, localizar todos os pares (x,y) onde o gradiente é zero e, depois, classificá-los).
Informações dadas:
  • Duas funções ordinárias de duas variáveis: f(x,y)=y^{2}-x^{2} e f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4}.
  • Para a primeira função deve-se mostrar graficamente a forma de sela (perspectiva 3D no GeoGebra).
  • Para a segunda, deve-se achar pontos críticos (resolver \nabla f=0) e classificar com o teste de derivadas segundas.

Passo 2

Breve revisão didática (passo-a-passo do teste de derivadas segundas para funções de duas variáveis).
  • Definição de ponto crítico: um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras são nulas ali: \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.Isso é o análogo do f'(x)=0 em uma variável.
  • Matriz Hessiana e determinante D: calcule as segundas derivadas parciais no ponto (x_0,y_0): H=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_0,y_0) & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\\[6pt] \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0) & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_0,y_0) \end{pmatrix}, \qquad D=\det H=\left(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right)\left(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right)-\left(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\right)^{2}.
  • Interpretação do teste (isso replica as regras do enunciado):
    • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_0,y_0)>0 então há um mínimo relativo em (x_0,y_0).
    • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_0,y_0)<0 então há um máximo relativo.
    • Se D<0 então o ponto é de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
  • Intuição geométrica da sela: em uma sela a função aumenta numa direção e diminui em outra. Uma forma prática de verificar é olhar se, ao restringir a função a retas que passam pela origem, obtemos máximos em algumas direções e mínimos em outras.]

Passo 3

Análise de f(x,y)=y^{2}-x^{2} na origem (mostrando que é uma sela).
  • Calcule as derivadas parciais primeiras: \frac{\partial f}{\partial x}=-2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.No ponto (0,0) ambas valem zero, logo (0,0) é ponto crítico.
  • Segundas derivadas: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=0.Então o determinante Hessiano é D = (-2)\cdot 2 - 0^{2} = -4 < 0.Pelo teste, D<0 implica que (0,0) é um ponto de sela.
  • Intuição extra (fatiamento): restrinja a função às retas:
    • Sobre a reta y=0: f(x,0) = -x^{2}, que tem máximo em x=0 (quando variamos por x).
    • Sobre a reta x=0: f(0,y)=y^{2}, que tem mínimo em y=0.
      Essas direções mostram comportamento oposto — portanto sela: em algumas direções é máximo local, em outras é mínimo local.

Passo 4

Como fazer o gráfico no GeoGebra (passo-a-passo para obter a “sela” em perspectiva 3D).
  • Abra GeoGebra e selecione a vista 3D (3D Graphics).
  • Na linha de entrada digite a função em forma de superfície, por exemplo: f(x,y)=y^{2}-x^{2}(No GeoGebra, escrever exatamente: f(x,y) = y^2 - x^2).
  • Ajustes de visualização para mostrar a sela em perspectiva:
    • Rode a cena com o mouse (arrastar a vista) para obter um ângulo oblíquo (por exemplo, mover para que se veja tanto eixo x quanto y obliquamente).
    • Use zoom para enquadrar a região próxima à origem, por exemplo -2\le x\le 2 e -2\le y\le 2.
    • Ative malha e eixos se desejar (opções de 3D Graphics -> Grid / Axes).
    • Opcional: desenhe curvas de nível (Trace or Contour) para reforçar a ideia.
  • Para capturar a imagem em perspectiva: use a ferramenta de exportar/guardar imagem do GeoGebra 3D. Certifique-se de que a vista mostre claramente a crista e a cava da sela (útil inclinar ligeiramente para cima e para um dos lados).
  • Observação prática: se quiser uma linha-guia, plotar as curvas y=x e y=-x ajuda a ver as direções onde a superfície cruza o nível zero.

Passo 5

Encontrar pontos críticos de f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4}: cálculo do gradiente e resolução do sistema.
  • Calcule as derivadas parciais primeiras: \frac{\partial f}{\partial x}=4y-4x^{3}=4(y-x^{3}), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4x-4y^{3}=4(x-y^{3}).
  • Condição de ponto crítico: igualar a zero ambas: 4(y-x^{3})=0 \quad\Rightarrow\quad y=x^{3},
4(x-y^{3})=0 \quad\Rightarrow\quad x=y^{3}.
  • Substitua y=x^{3} na segunda equação x=y^{3}: x=(x^{3})^{3}=x^{9}.Isso leva a x^{9}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x\,(x^{8}-1)=0.As soluções reais de x^{8}=1 são x=1 e x=-1 (porque potências de ordem par de -1 são 1). Assim: x=0,\quad x=1,\quad x=-1.
  • Encontre os correspondentes y usando y=x^{3}: x=0 \Rightarrow y=0; \qquad x=1\Rightarrow y=1; \qquad x=-1\Rightarrow y=-1.
  • Portanto os pontos críticos são (0,0), (1,1) e (-1,-1).

Passo 6

Classificação dos pontos críticos usando as segundas derivadas.
  • Calcule segundas derivadas gerais:
    \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-12x^{2},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-12y^{2},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=4.
    O determinante Hessiano genérico é
    D(x,y)=(-12x^{2})(-12y^{2})-4^{2}=144x^{2}y^{2}-16=16\bigl(9x^{2}y^{2}-1\bigr).
  • Avalie em cada ponto crítico:
    1. Em (0,0):
    D(0,0)=16(9\cdot 0\cdot 0 -1)=16(-1)=-16<0.
    Pelo teste, D<0 implica ponto de sela. Logo (0,0) é uma sela.
    1. Em (1,1):
    D(1,1)=16(9\cdot 1\cdot 1 -1)=16(8)=128>0.
    Além disso
    \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(1,1)=-12\cdot 1^{2}=-12<0.
    Assim D>0 e f_{xx}<0 implicam que (1,1) é um máximo relativo.
    1. Em (-1,-1):
    D(-1,-1)=16(9\cdot 1\cdot 1 -1)=128>0,
    e
    \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(-1,-1)=-12\cdot (-1)^{2}=-12<0.
    Portanto (-1,-1) também é um máximo relativo.
  • Comentário prático: os valores de f nos pontos são
    f(0,0)=0,\qquad f(1,1)=4\cdot1\cdot1-1-1=2,\qquad f(-1,-1)=2,
    o que confirma que os pontos (\pm1,\pm1) são picos locais (valores positivos maiores que o entorno imediato em várias direções) enquanto (0,0) não é extremo (sela).

Resposta

Para f(x,y)=y^{2}-x^{2}: (0,0) é ponto de sela.
Pontos críticos de f(x,y)=4xy-x^{4}-y^{4}: (0,0) (sela), (1,1) (máximo relativo), (-1,-1) (máximo relativo).

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