Questão 1 ( \mathbf{3 , 0} pontos) - Considere que a reação em fase gasosa \mathrm{A} \rightarrow \square \mathrm{B}+\mathrm{C} ocorre a 350 K e 2 \mathrm{~atm} \operatorname{com}\left(-r_{A}\right)=0,253 C_{A}^{2} \frac{\mathrm{~mol}}{\mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~s}} e C_{A} em \frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{m}^{3}} . ‘A’ puro é alimentado ao reator numa taxa de 8 \mathrm{~mol} . \mathrm{s}^{-1} e a conversão desejada é \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=0,99.
Determine o volume de um CSTR necessário para efetuar esta operação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tomei os dados textuais diretamente do enunciado):
  • Temperatura: T=350\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: P=2\\ \mathrm{atm}.
  • Lei de velocidade: -r_{A}=0,253\,C_{A}^{2} com -r_{A} em \dfrac{\mathrm{mol}}{\mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{s}} e C_{A} em \dfrac{\mathrm{mol}}{\mathrm{m}^{3}}.
  • Alimentação: A puro à razão molar F_{A0}=8\\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}.
  • Conversão desejada: X_{A}=0,99.
  • Reação em fase gasosa indicada como \mathrm{A}\rightarrow\square \mathrm{B}+\mathrm{C}. Vou assumir a estequiometria usual \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B}+\mathrm{C} (ou seja, 1 mol de A produz 2 mols de produtos), porque o enunciado sugere dois produtos distintos. Essa hipótese implica que a variação do número total de mols por mol de A reagido é \Delta n=+1 (total de mols aumenta).
O que é pedido:
  • Determinar o volume V de um CSTR (estado estacionário, mistura perfeita) necessário para atingir X_{A}=0,99 com os dados acima.

Passo 2

Calcular a concentração molar de A na alimentação (C_{A0}) usando a lei dos gases ideais. Explicando rapidinho: para um gás puro ideal, a concentração total (mols por volume) é dada por C=\dfrac{P}{R\,T}. Aqui, como a alimentação é A puro, C_{A0}=C.
Usarei a constante dos gases em unidades compatíveis: R=8,2057\times10^{-5}\\ \dfrac{\mathrm{m^{3}\cdot atm}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}.
Cálculo:
C_{A0}=\dfrac{P}{R\,T}=\dfrac{2}{\left(8,2057\times10^{-5}\right)\cdot350}.
Calculemos o denominador:
\left(8,2057\times10^{-5}\right)\cdot350=0,02871995\approx0,02872.
Portanto
C_{A0}=\dfrac{2}{0,02871995}\approx69,67\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.

Passo 3

Relacionar as vazões molares e a concentração no CSTR. Explicando a ideia: em estado estacionário para um CSTR vale o balanço molar
F_{A0}-F_{A}+(-r_{A})V=0,
onde F_{A0} e F_{A} são vazões molares de A na entrada e saída (em \mathrm{mol\cdot s^{-1}}), (-r_{A}) é a taxa volumétrica de consumo de A (em \mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}}) e V é o volume do reator. A conversão define
F_{A}=F_{A0}(1-X_{A}).
Como é gás e a reação altera o número total de mols ( \Delta n=+1), a vazão total molar de saída F_{T} (em mol/s) não é igual a F_{A0}. Para a estequiometria assumida ( 1 mol A → 1 mol B + 1 mol C), a vazão total no escoamento é
F_{T}=F_{A}+F_{B}+F_{C}=F_{A0}(1-X_{A})+2F_{A0}X_{A}=F_{A0}(1+X_{A}).
A concentração de A no interior do reator C_{A} pode ser obtida como razão entre a vazão molar de A e a vazão volumétrica no reator v. A vazão volumétrica v (m^3/s) sob as mesmas P,T é proporcional à vazão total molar: v=\dfrac{F_{T}}{C_{\text{total}}}, com C_{\text{total}}=C_{A0}. Assim
C_{A}=\dfrac{F_{A}}{v}=\dfrac{F_{A}}{F_{T}/C_{A0}}=C_{A0}\dfrac{F_{A}}{F_{T}}.
Substituindo F_{A}=F_{A0}(1-X_{A}) e F_{T}=F_{A0}(1+X_{A}) obtém-se a fórmula prática:
C_{A}=C_{A0}\,\dfrac{1-X_{A}}{1+X_{A}}.
(Comentário didático: essa relação mostra como, em reações gasosas com mudança no número de mols, a concentração de A cai não só porque há conversão, mas também porque o volume específico muda.)

Passo 4

Calcular numericamente C_{A} no reator para X_{A}=0,99.
Primeiro o fator:
\dfrac{1-X_{A}}{1+X_{A}}=\dfrac{1-0,99}{1+0,99}=\dfrac{0,01}{1,99}\approx0,00502513.
Logo
C_{A}=69,67\times0,00502513\approx0,3500\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}.

Passo 5

Calcular a taxa de reação volumétrica -r_{A} dentro do reator usando a lei dada. Relembrando: -r_{A}=0,253\,C_{A}^{2}. Substituindo C_{A}:
-r_{A}=0,253\times(0,3500)^{2}=0,253\times0,1225\approx0,03100\\ \dfrac{\mathrm{mol}}{\mathrm{m^{3}\cdot s}}.
Interpretação: essa é a taxa de consumo de A por metro cúbico de mistura no reator.

Passo 6

Aplicar o balanço do CSTR para obter V. Do balanço em estado estacionário:
F_{A0}-F_{A}+(-r_{A})V=0 \quad\Rightarrow\quad F_{A0}X_{A}=(-r_{A})V.
Isolando V:
V=\dfrac{F_{A0}X_{A}}{-r_{A}}.
Agora substituímos numericamente F_{A0}=8\\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}, X_{A}=0,99 e -r_{A}\approx0,03100\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}}:
V=\dfrac{8\times0,99}{0,03100}=\dfrac{7,92}{0,03100}\approx255,5\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida: o volume calculado é grande porque, embora a alimentação seja relativamente alta (8 mol/s), a concentração de A dentro do reator fica muito pequena (cerca de 0,35\\ \mathrm{mol\cdot m^{-3}}) devido à alta diluição gasosa resultante do aumento do número de mols na reação e à conversão muito alta exigida ( 99\%). Em problemas de projeto reais, para reduzir o volume exigido poderia-se operar em maior pressão (aumenta C_{A0}), ou usar um estágio em série, ou um catalisador que aumente a constante efetiva da taxa.

Resposta

V=255,5\\ \mathrm{m^{3}}

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