Exercício 28. Calcule os seguintes limites usando L’Hôspital quando possível. Se a regra de L’Hôspital não for aplicável explique por quê.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{5}}.
Informações dadas explicitamente:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{e^{x}}{x^{5}}.
  • A variável tende para +\infty: x\to\infty.
    Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação (o que acontece com numerador e denominador quando x\to\infty).
  • Para o numerador: \displaystyle \lim_{x\to\infty} e^{x} = \infty porque a função exponencial cresce sem limite para +\infty.
  • Para o denominador: \displaystyle \lim_{x\to\infty} x^{5} = \infty porque um polinômio de grau positivo também tende para +\infty quando x\to\infty.
Logo a expressão tem a forma \dfrac{\infty}{\infty}, isto é uma indeterminação do tipo \infty/\infty.

Passo 3

Apresentar a regra que vamos usar e as condições para aplicá‑la (aula rápida sobre L’Hôpital).
Regra de L’Hôpital (versão para \infty/\infty): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança (à direita, se necessário) de um ponto (ou para x suficientemente grande no caso de x\to\infty), e
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty
(or 0 no caso 0/0), e se \dfrac{f'(x)}{g'(x)} tem limite (finito ou \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Também é permitido aplicar a regra repetidas vezes se, após a primeira derivação, ainda se obtiver uma indeterminação do tipo 0/0 ou \infty/\infty.
Condições no nosso caso:
  • f(x)=e^{x} e g(x)=x^{5} são diferenciáveis para todo x.
  • Já verificamos que dá \infty/\infty quando x\to\infty.
    Portanto podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicar L’Hôpital a primeira vez (calcular derivadas e escrever o novo limite).
Derivadas:
  • f'(x)=(e^{x})' = e^{x}.
  • g'(x)=(x^{5})' = 5x^{4}.
Pelo teorema:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{5}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{5x^{4}}.
Verificar o novo limite: ainda é do tipo \infty/\infty porque e^{x}\to\infty e 5x^{4}\to\infty. Então podemos aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 5

Aplicar L’Hôpital repetidamente até eliminar a indeterminação.
Segunda aplicação:
\text{derivadas: }(e^{x})' = e^{x},\quad (5x^{4})' = 20x^{3},
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\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{5}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{20x^{3}}.
Terceira aplicação:
\text{derivadas: }(e^{x})' = e^{x},\quad (20x^{3})' = 60x^{2},
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\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{5}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{60x^{2}}.
Quarta aplicação:
\text{derivadas: }(e^{x})' = e^{x},\quad (60x^{2})' = 120x,
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\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{5}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{120x}.
Quinta aplicação:
\text{derivadas: }(e^{x})' = e^{x},\quad (120x)' = 120,
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\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{5}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{120}.
Observação: a cada derivação do denominador o expoente diminui em 1 e aparecem os coeficientes correspondentes; após 5 derivações o polinômio virou a constante 5!=120.

Passo 6

Avaliar o limite final obtido.
Agora
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{120}=\frac{1}{120}\lim_{x\to\infty}e^{x}=\frac{1}{120}\cdot\infty=\infty.
Portanto o limite existe (no sentido estendido) e é +\infty.

Passo 7

Interpretação intuitiva (ajuda mnemônica para a prova): a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Assim frações do tipo \dfrac{e^{x}}{x^{n}} tendem para +\infty para qualquer n natural. A aplicação repetida de L’Hôpital formaliza isso: cada derivada do polinômio reduz seu grau até virar constante, enquanto a derivada de e^{x} permanece e^{x}, que ainda diverge para +\infty.

Resposta

\infty

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