Exercício 28. Calcule os seguintes limites usando L’Hôspital quando possível. Se a regra de L’Hôspital não for aplicável explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas explicitamente:
- A expressão a ser analisada é
. - A variável tende para
: .
Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação (o que acontece com numerador e denominador quando
).
- Para o numerador:
porque a função exponencial cresce sem limite para . - Para o denominador:
porque um polinômio de grau positivo também tende para quando .
Logo a expressão tem a forma
, isto é uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Apresentar a regra que vamos usar e as condições para aplicá‑la (aula rápida sobre L’Hôpital).
Regra de L’Hôpital (versão para
): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança (à direita, se necessário) de um ponto (ou para
suficientemente grande no caso de
), e
(or
no caso
), e se
tem limite (finito ou
), então
Também é permitido aplicar a regra repetidas vezes se, após a primeira derivação, ainda se obtiver uma indeterminação do tipo
ou
.
Condições no nosso caso:
-
e são diferenciáveis para todo . - Já verificamos que dá
quando .
Portanto podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Aplicar L’Hôpital a primeira vez (calcular derivadas e escrever o novo limite).
Derivadas:
-
. -
.
Pelo teorema:
Verificar o novo limite: ainda é do tipo
porque
e
. Então podemos aplicar L’Hôpital de novo.
Passo 5
Aplicar L’Hôpital repetidamente até eliminar a indeterminação.
Segunda aplicação:
logo
Terceira aplicação:
logo
Quarta aplicação:
logo
Quinta aplicação:
logo
Observação: a cada derivação do denominador o expoente diminui em 1 e aparecem os coeficientes correspondentes; após 5 derivações o polinômio virou a constante
.
Passo 6
Avaliar o limite final obtido.
Agora
Portanto o limite existe (no sentido estendido) e é
.
Passo 7
Interpretação intuitiva (ajuda mnemônica para a prova): a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Assim frações do tipo
tendem para
para qualquer
natural. A aplicação repetida de L’Hôpital formaliza isso: cada derivada do polinômio reduz seu grau até virar constante, enquanto a derivada de
permanece
, que ainda diverge para
.