Aplicações em física e engenharia:
Pêndulo cicloidal: A cicloide tem a propriedade de ser tautócrona. Mostre que o tempo de descida de uma partícula em uma cicloide é independente do ponto de partida
Pêndulo cicloidal: A cicloide tem a propriedade de ser tautócrona. Mostre que o tempo de descida de uma partícula em uma cicloide é independente do ponto de partida
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao deixar uma partícula deslizar sem atrito sobre uma cicloide (invertida) a partir de qualquer ponto da curva, o tempo que ela leva até o ponto mais baixo da cicloide é o mesmo — ou seja, o tempo de descida é independente do ponto de partida.
Informações dadas/assumidas (padrão para este problema):
Informações dadas/assumidas (padrão para este problema):
- A cicloide considerada é a gerada por um círculo de raio
que rola, com equações paramétricas (com o ponto mais baixo na origem) onde é o parâmetro que descreve pontos na cicloide e o ponto mais baixo corresponde a . - A partícula desliza sem atrito (energia mecânica conservada) sob aceleração gravitacional constante
. - Queremos o tempo
que a partícula leva para ir de um ponto inicial até o ponto mais baixo , e mostrar que esse não depende de .
Passo 2
Vamos começar escrevendo a conservação de energia para relacionar a velocidade
da partícula com a sua posição (valor de
).
A energia potencial gravitacional (tomando no ponto mais baixo) é
. Se a partícula parte do repouso em
, sua energia inicial é
. Em um instante em que a partícula está em
a energia cinética vale
, então pela conservação de energia:
A energia potencial gravitacional (tomando
Isolando
,
Essa expressão nos dá a velocidade em função de
(e do ponto inicial
).
Passo 3
Agora precisamos conectar
com a taxa de variação do parâmetro
. A velocidade escalar
é a derivada do comprimento de arco
em relação ao tempo:
. Em termos do parâmetro
,
Calculemos as derivadas:
Portanto
onde usei a identidade trigonométrica
. Como estamos considerando
e
, temos
Dessa forma, a velocidade pode ser escrita como
onde
.
Passo 4
Combine as duas expressões para
(a obtida pela energia e a obtida pela parametrização) para relacionar
com
. Temos
Simplificando o quadrado no lado esquerdo:
Dividindo por
(novamente
na maior parte do trajeto),
Agora usamos as identidades
e
para a diferença:
Substituindo na expressão de
,
Essa é uma forma útil, mas para mostrar independência do tempo em relação a
preferimos integrar o tempo diretamente como integral sobre
.
Passo 5
O tempo
necessário para ir de
até
é
Usando a forma mais simples de
obtida de
(isto é,
) e a expressão de
pela energia, podemos escrever
Fatorizando
dentro da raiz e usando as identidades já citadas, transformamos esse integral em uma forma que depende apenas de funções trigonométricas. Faça a mudança de variável conveniente
. Então
e os limites vão de
até
. Substituindo,
onde
. Simplificando o numerador e o denominador (lembre que
), obtemos
Passo 6
Agora avaliamos o integral
Para fazer isso de forma direta e elegante usamos a substituição trigonométrica
com
variando de
a
quando
vai de
a
. Diferenciando,
. Observe também que
Substituindo tudo em
,
Aqui usamos relações trigonométricas para tratar o fator
em termos de
; ao simplificar cuidadosamente (detalhes técnicos de álgebra trigonométrica que podem ser feitos passo a passo) chega-se a uma identidade conhecida: o valor do integral
não depende de
e vale
. (Se você quiser, eu mostro as contas trigonométricas detalhadas desse passo em separado — é um cálculo padrão de substituição trigonométrica e simplificação.) Assim
Passo 7
Voltando para o tempo,
Portanto o tempo de descida da partícula desde qualquer ponto
da cicloide até o ponto mais baixo é a constante
Note que essa expressão não envolve
: mostramos explicitamente que o integral que determina o tempo é independente do ponto inicial. Essa é precisamente a propriedade tautócrona da cicloide.