Aplicações em física e engenharia:
Movimento planetário: A órbita de um planeta em torno do Sol é dada por r= \frac{e d}{1+e \cos \theta}, onde e é a excentricidade. Mostre que quando e<1 temos uma elipse

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=\frac{e d}{1+e\cos\theta},
onde e (excentricidade) satisfaz e<1, e pede para mostrar que essa curva é uma elipse. Informações relevantes que temos: r é a distância do ponto (r,\theta) ao polo (origem), \theta é o ângulo polar, e e d são constantes com e<1 e d>0 (assumimos d>0 porque aparece na forma dada). O objetivo é transformar essa equação polar em uma equação cartesiana reconhecível como equação de uma elipse e explicar por que os parâmetros resultantes correspondem a uma elipse quando e<1.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas — isso é essencial e prático para transformar a equação. Para um ponto qualquer:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \cos\theta=\frac{x}{r}.
Aqui x e y são as coordenadas cartesianas, r a distância ao polo e \theta o ângulo. Essas fórmulas vêm diretamente da definição de seno e cosseno num triângulo retângulo formado pelas projeções no eixo x e y.

Passo 3

Agora substituímos \cos\theta=\dfrac{x}{r} na equação polar dada. Partimos de
r=\frac{e d}{1+e\cos\theta}.
Substituindo \cos\theta=\dfrac{x}{r} obtemos
r=\frac{e d}{1+e\frac{x}{r}}.
Multiplicamos ambos os lados por 1+e\frac{x}{r} (não há problema porque 1+e\frac{x}{r} é finito para os pontos considerados) para eliminar o denominador:
r\left(1+e\frac{x}{r}\right)=e d.
Desenvolvendo o parêntese temos
r + e x = e d.
Isolando r resulta
r = e(d - x).
Aqui usei a identidade r\cos\theta = x para trocar r\cos\theta por x.

Passo 4

Substituímos r=\sqrt{x^2+y^2} na igualdade anterior para passar totalmente a equação para coordenadas cartesianas:
\sqrt{x^2+y^2}=e(d-x).
Como a raiz é não-negativa, e o lado direito deve ser não-negativo para pontos da curva, essa expressão está coerente quando e(d-x)\ge0 (essa observação não é necessária para a demonstração da forma cônica, apenas evita ambiguidades de sinal). Agora elevamos ao quadrado ambos os lados (isso elimina a raiz, lembrando de preservar equivalência porque ambos os lados são \ge0):
x^2+y^2 = e^2(d-x)^2.

Passo 5

Expandimos o lado direito e reorganizamos os termos. Primeiro expandindo:
x^2+y^2 = e^2(d^2 - 2dx + x^2) = e^2 d^2 - 2e^2 d x + e^2 x^2.
Agora levamos tudo para o lado esquerdo e agrupamos os termos em x^2, x e y^2:
x^2 - e^2 x^2 + y^2 + 2e^2 d x - e^2 d^2 = 0.
Fatorando x^2:
(1-e^2)x^2 + 2e^2 d x + y^2 - e^2 d^2 = 0.

Passo 6

Para reconhecer uma elipse é conveniente completar o quadrado na variável x. Observa que 1-e^2>0 porque foi dado e<1. Então fazemos:
(1-e^2)\left(x^2 + \frac{2e^2 d}{1-e^2}x\right) + y^2 - e^2 d^2 = 0.
Agora completamos o quadrado dentro dos parênteses. Se temos x^2 + 2\alpha x, o quadrado completo é (x+\alpha)^2 - \alpha^2. Aqui \alpha=\dfrac{e^2 d}{1-e^2}. Assim
x^2 + \frac{2e^2 d}{1-e^2}x = \left(x+\frac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2 - \left(\frac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2.
Substituímos na expressão anterior:
(1-e^2)\left[\left(x+\frac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2 - \left(\frac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2\right] + y^2 - e^2 d^2 = 0.

Passo 7

Distribuímos e simplificamos as constantes. Primeiro a parte com o (-):
-(1-e^2)\left(\frac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2 = -\frac{e^4 d^2}{1-e^2}.
Então a equação fica
(1-e^2)\left(x+\frac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2 + y^2 -\frac{e^4 d^2}{1-e^2} - e^2 d^2 = 0.
Agora somamos os dois termos constantes que têm d^2:
-\frac{e^4 d^2}{1-e^2} - e^2 d^2 = -\frac{e^4 d^2 + e^2 d^2(1-e^2)}{1-e^2} = -\frac{e^2 d^2}{1-e^2}.
Portanto a equação simplifica para
(1-e^2)\left(x+\frac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2 + y^2 = \frac{e^2 d^2}{1-e^2}.

Passo 8

Finalmente, colocamos em forma canônica dividindo ambos os lados por \dfrac{e^2 d^2}{1-e^2}. Isso dá:
\frac{\left(x+\dfrac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2}{\dfrac{e^2 d^2}{(1-e^2)^2}} + \frac{y^2}{\dfrac{e^2 d^2}{1-e^2}} = 1.
Essa fórmula tem exatamente a forma padrão de uma elipse centrada no ponto \left(-\dfrac{e^2 d}{1-e^2},\,0\right) com semi-eixo maior e menor dados por
a^2=\frac{e^2 d^2}{(1-e^2)^2},\qquad b^2=\frac{e^2 d^2}{1-e^2}.
Observe que para e<1 tanto 1-e^2>0 quanto a^2>0 e b^2>0, então os semi-eixos são reais e positivos — exatamente a condição para a curva ser uma elipse.

Passo 9

Resumo da interpretação geométrica e verificação: a equação cartesiana obtida é a de uma elipse deslocada no eixo x. Não há termos mistos xy, e os denominadores positivos garantem que o nível =1 define uma elipse (soma de quadrados com denominadores positivos). Portanto, quando e<1 a curva dada em coordenadas polares é uma elipse. Se e=1 obtém-se uma parábola e se e>1 uma hipérbole (isso é o comportamento clássico dos cônicas em função da excentricidade).

Resposta

\frac{\left(x+\dfrac{e^2 d}{1-e^2}\right)^2}{\dfrac{e^2 d^2}{(1-e^2)^2}}+\frac{y^2}{\dfrac{e^2 d^2}{1-e^2}}=1
(para e<1, o lado direito define uma elipse).

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