Aplicações em física e engenharia:
Movimento planetário: A órbita de um planeta em torno do Sol é dada por
, onde
é a excentricidade. Mostre que quando
temos uma elipse
Movimento planetário: A órbita de um planeta em torno do Sol é dada por
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
onde
(excentricidade) satisfaz
, e pede para mostrar que essa curva é uma elipse. Informações relevantes que temos:
é a distância do ponto
ao polo (origem),
é o ângulo polar,
e
são constantes com
e
(assumimos
porque aparece na forma dada). O objetivo é transformar essa equação polar em uma equação cartesiana reconhecível como equação de uma elipse e explicar por que os parâmetros resultantes correspondem a uma elipse quando
.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas — isso é essencial e prático para transformar a equação. Para um ponto qualquer:
Aqui
e
são as coordenadas cartesianas,
a distância ao polo e
o ângulo. Essas fórmulas vêm diretamente da definição de seno e cosseno num triângulo retângulo formado pelas projeções no eixo
e
.
Passo 3
Agora substituímos
na equação polar dada. Partimos de
Substituindo
obtemos
Multiplicamos ambos os lados por
(não há problema porque
é finito para os pontos considerados) para eliminar o denominador:
Desenvolvendo o parêntese temos
Isolando
resulta
Aqui usei a identidade
para trocar
por
.
Passo 4
Substituímos
na igualdade anterior para passar totalmente a equação para coordenadas cartesianas:
Como a raiz é não-negativa, e o lado direito deve ser não-negativo para pontos da curva, essa expressão está coerente quando
(essa observação não é necessária para a demonstração da forma cônica, apenas evita ambiguidades de sinal). Agora elevamos ao quadrado ambos os lados (isso elimina a raiz, lembrando de preservar equivalência porque ambos os lados são
):
Passo 5
Expandimos o lado direito e reorganizamos os termos. Primeiro expandindo:
Agora levamos tudo para o lado esquerdo e agrupamos os termos em
,
e
:
Fatorando
:
Passo 6
Para reconhecer uma elipse é conveniente completar o quadrado na variável
. Observa que
porque foi dado
. Então fazemos:
Agora completamos o quadrado dentro dos parênteses. Se temos
, o quadrado completo é
. Aqui
. Assim
Substituímos na expressão anterior:
Passo 7
Distribuímos e simplificamos as constantes. Primeiro a parte com o
:
Então a equação fica
Agora somamos os dois termos constantes que têm
:
Portanto a equação simplifica para
Passo 8
Finalmente, colocamos em forma canônica dividindo ambos os lados por
. Isso dá:
Essa fórmula tem exatamente a forma padrão de uma elipse centrada no ponto
com semi-eixo maior e menor dados por
Observe que para
tanto
quanto
e
, então os semi-eixos são reais e positivos — exatamente a condição para a curva ser uma elipse.
Passo 9
Resumo da interpretação geométrica e verificação: a equação cartesiana obtida é a de uma elipse deslocada no eixo
. Não há termos mistos
, e os denominadores positivos garantem que o nível
define uma elipse (soma de quadrados com denominadores positivos). Portanto, quando
a curva dada em coordenadas polares é uma elipse. Se
obtém-se uma parábola e se
uma hipérbole (isso é o comportamento clássico dos cônicas em função da excentricidade).
Resposta
(para
, o lado direito define uma elipse).