Para as cônicas em coordenadas polares, determine os vértices e focos:
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede para determinar os vértices e os focos da cônica. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está em coordenadas polares com o polo na origem:
é a distância ao polo e o ângulo polar. - O denominador tem a forma
, que sugere um parâmetro de excentricidade ligado ao coeficiente . - Precisamos encontrar as coordenadas dos vértices e dos focos (posso dar em coordenadas cartesianas —
— já que isso deixa claro a posição geométrica).
Passo 2
Interpretação inicial e identificação dos parâmetros:
Compare a equação dada com a forma padrão (com foco na origem)
Compare a equação dada com a forma padrão (com foco na origem)
onde
é a excentricidade (número não negativo) e
é a distância da origem à diretriz. Igualando com a equação dada, vemos que
Breve explicação sobre
:
- Se
é parábola; se é elipse; se é hipérbole.
Aqui, logo a cônica é uma hipérbole. Como a equação está com foco na origem, um dos focos é a origem . Para achar o outro foco e os vértices, é prático passar para coordenadas cartesianas e colocar a hipérbole na forma canônica.
Passo 3
Converter para coordenadas cartesianas usando
e
.
Substituindo na equação:
Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora substituímos
:
Isolar a raiz e elevar ao quadrado para eliminar a raiz (explicação curta: ao elevar ao quadrado devemos depois verificar que não introduzimos soluções espúrias; aqui a manipulação é válida porque a equação original corresponde a pontos em que
e a igualdade será satisfeita pelos pontos da curva):
Passando todos os termos para um lado e simplificando:
Passo 4
Colocar a equação na forma canônica da hipérbole completando o quadrado em
.
Agrupando termos em :
Agrupando termos em
Completar o quadrado:
. Substituindo:
Dividindo por
para obter forma padrão:
Interpretação dessa forma padrão:
- Centro da hipérbole:
. - Como o termo positivo é o de
, a transversa está ao longo do eixo (hipérbole vertical). - Identificamos
e . - Para hipérbole,
(distância focal ao centro) satisfaz . Então
Passo 5
Determinar vértices e focos a partir dos elementos da hipérbole:
- Vértices: situam-se no centro deslocados por
ao longo do eixo transverso (eixo neste caso). Então os vértices são
Calculando:
- Focos: situam-se no centro deslocados por
ao longo do mesmo eixo. Como um foco já é a origem (polo) vamos recuperar ambos:
Calculando:
Passo 6
Verificação rápida (plug-in nos dois vértices para ver se condizem com a equação polar):
- Para o ponto
: em coordenadas polares , (ou ). . Na equação polar:
confere.
- Para
: em coordenadas polares no sentido negativo do eixo também confere (verificação equivalente usando sinal de e ângulo apropriado). A presença do foco na origem também é consistente com a forma polar inicial.
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
Focos: