Para as cônicas em coordenadas polares, determine os vértices e focos:
r=\frac{6}{1-2 \sin \theta}

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r=\frac{6}{1-2\sin\theta}
e pede para determinar os vértices e os focos da cônica. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está em coordenadas polares com o polo na origem: r é a distância ao polo e \theta o ângulo polar.
  • O denominador tem a forma 1 - 2\sin\theta, que sugere um parâmetro de excentricidade ligado ao coeficiente 2.
  • Precisamos encontrar as coordenadas dos vértices e dos focos (posso dar em coordenadas cartesianas — x,y — já que isso deixa claro a posição geométrica).

Passo 2

Interpretação inicial e identificação dos parâmetros:
Compare a equação dada com a forma padrão (com foco na origem)
r=\frac{ed}{1 - e\sin\theta},
onde e é a excentricidade (número não negativo) e d é a distância da origem à diretriz. Igualando com a equação dada, vemos que
e=2,\qquad ed=6 \Rightarrow d=3.
Breve explicação sobre e:
  • Se e=1 é parábola; se e<1 é elipse; se e>1 é hipérbole.
    Aqui e=2>1, logo a cônica é uma hipérbole. Como a equação está com foco na origem, um dos focos é a origem (0,0). Para achar o outro foco e os vértices, é prático passar para coordenadas cartesianas e colocar a hipérbole na forma canônica.

Passo 3

Converter para coordenadas cartesianas usando r=\sqrt{x^2+y^2} e \sin\theta=\dfrac{y}{r}.
Substituindo na equação:
r=\frac{6}{1-2\frac{y}{r}}.
Multiplicando ambos os lados por 1-2\frac{y}{r}:
r\Bigl(1-2\frac{y}{r}\Bigr)=6 \quad\Rightarrow\quad r-2y=6.
Agora substituímos r=\sqrt{x^2+y^2}:
\sqrt{x^2+y^2}-2y=6.
Isolar a raiz e elevar ao quadrado para eliminar a raiz (explicação curta: ao elevar ao quadrado devemos depois verificar que não introduzimos soluções espúrias; aqui a manipulação é válida porque a equação original corresponde a pontos em que r\ge0 e a igualdade será satisfeita pelos pontos da curva):
\sqrt{x^2+y^2}=6+2y
x^2+y^2=(6+2y)^2=36+24y+4y^2.
Passando todos os termos para um lado e simplificando:
x^2+y^2-36-24y-4y^2=0 \quad\Rightarrow\quad x^2-3y^2-24y-36=0.

Passo 4

Colocar a equação na forma canônica da hipérbole completando o quadrado em y.
Agrupando termos em y:
x^2-3\bigl(y^2+8y\bigr)-36=0.
Completar o quadrado: y^2+8y=(y+4)^2-16. Substituindo:
x^2-3\bigl((y+4)^2-16\bigr)-36=0
x^2-3(y+4)^2+48-36=0
x^2-3(y+4)^2+12=0
-3(y+4)^2 + x^2 +12=0 \quad\Rightarrow\quad 3(y+4)^2 - x^2 =12.
Dividindo por 12 para obter forma padrão:
\frac{(y+4)^2}{4} - \frac{x^2}{12}=1.
Interpretação dessa forma padrão:
  • Centro da hipérbole: (h,k)=(0,-4).
  • Como o termo positivo é o de (y+4)^2, a transversa está ao longo do eixo y (hipérbole vertical).
  • Identificamos a^2=4\Rightarrow a=2 e b^2=12\Rightarrow b=2\sqrt{3}.
  • Para hipérbole, c (distância focal ao centro) satisfaz c^2=a^2+b^2. Então
c^2=4+12=16 \Rightarrow c=4.

Passo 5

Determinar vértices e focos a partir dos elementos da hipérbole:
  • Vértices: situam-se no centro deslocados por \pm a ao longo do eixo transverso (eixo y neste caso). Então os vértices são
(h,\;k\pm a)=(0,\,-4\pm 2).
Calculando:
(0,-4+2)=(0,-2),\qquad (0,-4-2)=(0,-6).
  • Focos: situam-se no centro deslocados por \pm c ao longo do mesmo eixo. Como um foco já é a origem (polo) vamos recuperar ambos:
(h,\;k\pm c)=(0,\,-4\pm 4).
Calculando:
(0,-4+4)=(0,0),\qquad (0,-4-4)=(0,-8).

Passo 6

Verificação rápida (plug-in nos dois vértices para ver se condizem com a equação polar):
  • Para o ponto (0,-2): em coordenadas polares r=2, \theta=-\tfrac{\pi}{2} (ou 3\pi/2). \sin\theta=-1. Na equação polar:
r=\frac{6}{1-2\sin\theta}=\frac{6}{1-2(-1)}=\frac{6}{3}=2,
confere.
  • Para (0,-6): em coordenadas polares r=6 no sentido negativo do eixo y também confere (verificação equivalente usando sinal de r e ângulo apropriado). A presença do foco na origem também é consistente com a forma polar inicial.

Resposta

Vértices: (0,-2) e (0,-6)
Focos: (0,0) e (0,-8)

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