Aplicações:
4. Um jarro de leite, inicialmente a 25^{\circ} \mathrm{C}, é deixado para esfriar na varanda onde a temperatura é de 0^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que a temperatura do leite tenha caído para 15^{\circ} \mathrm{C} após 20 minutos. Quando a mesma será de 5^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado diz que um jarro de leite, inicialmente a 25^\circ\mathrm{C}, é deixado em ambiente a 0^\circ\mathrm{C}. Após 20 minutos sua temperatura caiu para 15^\circ\mathrm{C}. Pergunta-se: em que instante t (a partir do início) a temperatura será 5^\circ\mathrm{C}? Vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton.

Passo 2

A Lei de Newton afirma que
T(t) = T_{\text{amb}} + \bigl(T(0)-T_{\text{amb}}\bigr)\,e^{-kt},
onde T_{\text{amb}}=0^\circ\mathrm{C} e T(0)=25^\circ\mathrm{C}. Logo
T(t) = 25\,e^{-k t}.

Passo 3

Usando a condição T(20)=15, temos
25\,e^{-20k} = 15
e^{-20k} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}
k = -\frac{1}{20}\ln\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) = \frac{1}{20}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr).

Passo 4

Para achar t tal que T(t)=5, impomos
25\,e^{-k t} = 5
e^{-k t} = \frac{1}{5}
-kt = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr) = -\ln 5
t = \frac{\ln 5}{k}.

Passo 5

Substituindo k = \tfrac{1}{20}\ln(5/3) em t, obtém-se
t = \frac{\ln 5}{\tfrac{1}{20}\ln(5/3)} = \frac{20\,\ln 5}{\ln(5/3)}.
Numericamente \ln 5\approx1,6094 e \ln(5/3)\approx0,5108, daí
t\approx20\cdot\frac{1,6094}{0,5108}\approx63{,}0\text{ minutos}.

Resposta

t = \frac{20\,\ln 5}{\ln(5/3)}\approx63{,}0\text{ minutos (desde o início).}í

Exercícios relacionados