Aplicações:
1.Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora observam-ses 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário t.
b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura.

Passo 1

O enunciado trata de um crescimento de bactérias cuja taxa é proporcional à quantidade presente, ou seja, satisfaz o modelo
\frac{dx}{dt}=k\,x,
com x(t) número de núcleos no tempo t. Dados x(1)=1000 e x(4)=3000, queremos encontrar
a) a expressão geral x(t);
b) o valor inicial x(0).

Passo 2

A solução geral da equação \frac{dx}{dt}=k\,x é
x(t)=A\,e^{k\,t},
onde A e k são constantes a determinar.

Passo 3

Usando os dados, temos
x(1)=A\,e^{k}=1000,
x(4)=A\,e^{4k}=3000.
Fazendo a razão entre essas duas igualdades:
\frac{x(4)}{x(1)} =\frac{A\,e^{4k}}{A\,e^{k}} =e^{3k} = \frac{3000}{1000}=3.
Logo
e^{3k}=3 \quad\implies\quad k=\frac{1}{3}\ln(3).

Passo 4

Para achar A, basta usar x(1)=1000:
A\,e^{k}=1000 \quad\implies\quad A=1000\,e^{-k} =1000\,e^{-\frac{1}{3}\ln(3)} =1000\cdot3^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 5

Substituindo A e k em x(t)=A\,e^{k\,t}, obtemos
x(t) =1000\cdot3^{-\tfrac{1}{3}}\, e^{\frac{1}{3}\ln(3)\,t} =1000\cdot3^{-\tfrac{1}{3}}\,3^{\tfrac{t}{3}} =1000\cdot3^{\tfrac{t-1}{3}}.

Resposta

a) \displaystyle x(t)=1000\cdot3^{\frac{t-1}{3}}.
b) \displaystyle x(0)=1000\cdot3^{-\frac{1}{3}}\approx693{,}4.

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