Uma das aplicações do limite é a determinação do coeficiente angular de uma reta tangente que passe por uma função especificada, aplicando o limite à equação da reta secante. Se a função analisada for dada por f(x) = 3x2 – 2x + 5, analise as informações apresentadas.
I) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 2 é m = 10
II) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 1 é m = 5
III) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 0 é m = -2
É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
II e III apenas.
Alternativa 2:
I e II apenas.
Alternativa 3:
I e III apenas.
Alternativa 4:
II apenas.
Alternativa 5:
I, II e III.
I) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 2 é m = 10
II) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 1 é m = 5
III) O coeficiente angular da reta tangente ao ponto x0 = 0 é m = -2
É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
II e III apenas.
Alternativa 2:
I e II apenas.
Alternativa 3:
I e III apenas.
Alternativa 4:
II apenas.
Alternativa 5:
I, II e III.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) = 3x^2 - 2x + 5 $ e queremos descobrir o coeficiente angular (que é a inclinação) das retas tangentes a essa função em três pontos diferentes: $ x_0 = 2 $, $ x_0 = 1 $ e $ x_0 = 0 $. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de derivada, que nos dá exatamente essa inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação de $ f(x) $ em relação a $ x $, ou seja, a inclinação da reta tangente.
A função dada é:
Para derivar, aplicamos as regras básicas de derivação:
- A derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
- A derivada de uma constante é 0.
Derivando termo a termo:
Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora que temos a expressão da derivada, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto $ x_0 $.
Para $ x_0 = 2 $:
Portanto, o coeficiente angular é 10. Isso confirma a afirmação I.
Para $ x_0 = 1 $:
Aqui, o coeficiente angular é 4, mas a afirmação II diz que é 5. Então, a afirmação II está incorreta.
Para $ x_0 = 0 $:
O coeficiente angular é -2, conforme afirmado na III.
Resposta
As afirmações corretas são I e III apenas. Portanto, a Alternativa 3 é a correta.