De forma alguma a multiplicação de matrizes implica meramente calcular o produto dos elementos correspondentes. A definição, nada trivial, de multiplicar matrizes é baseada na utilização de matrizes em matemática para representar determinadas funções, denominadas transformações lineares, que conduzem pontos no plano real a outros pontos no plano real. Avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. Para proceder o cálculo de a · b, o número de linhas de a precisa ser igual ao número de colunas de b. Porque ii. Consequentemente, sendo a uma matriz n × m e b uma matriz m × p, o resultado só pode ser uma matriz n × p
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou trata da multiplicação de matrizes, que é um assunto importante em álgebra linear. A questão apresenta duas afirmações sobre como multiplicar matrizes e nos pede para avaliar se essas afirmações estão corretas e qual é a relação entre elas.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Definição de multiplicação de matrizes: como e quando duas matrizes podem ser multiplicadas.
- Dimensões das matrizes: como as dimensões das matrizes envolvidas afetam o resultado da multiplicação.
Passo 2
Vamos analisar a primeira asserção:
I. Para proceder o cálculo de a · b, o número de linhas de a precisa ser igual ao número de colunas de b.
Na multiplicação de matrizes, a regra básica é que o número de colunas da primeira matriz (a) deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz (b). Isso é essencial para que possamos calcular o produto, pois cada elemento de uma linha de a será multiplicado por um elemento de uma coluna de b.
Por exemplo:
- Se a matriz a tem dimensões 2×3 (2 linhas e 3 colunas) e a matriz b tem dimensões 3×4 (3 linhas e 4 colunas), então podemos multiplicá-las porque o número de colunas de a (3) é igual ao número de linhas de b (3).
Portanto, a primeira asserção está correta.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda asserção:
II. Consequentemente, sendo a uma matriz n × m e b uma matriz m × p, o resultado só pode ser uma matriz n × p.
Aqui, estamos generalizando a regra mencionada na primeira asserção. Se a matriz a tem dimensões n×m (n linhas e m colunas) e a matriz b tem dimensões m×p (m linhas e p colunas), então:
- O número de colunas de a (m) é igual ao número de linhas de b (m), permitindo a multiplicação.
- O resultado da multiplicação será uma nova matriz com o número de linhas de a (n) e o número de colunas de b §, ou seja, n×p.
Exemplo:
- Se a é 2×3 e b é 3×4, o produto será uma matriz 2×4.
Portanto, a segunda asserção também está correta.
Passo 4
Agora, vamos analisar a relação entre as duas asserções:
A segunda asserção (II) é uma consequência direta da primeira asserção (I). Ou seja, se sabemos que para multiplicar duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda (Asserção I), então, ao aplicarmos essa regra de forma geral para matrizes de dimensões n×m e m×p, naturalmente chegamos à conclusão de que o produto resultará em uma matriz de dimensões n×p (Asserção II).
Resposta
Ambas as asserções I e II estão corretas, e a segunda é uma consequência direta da primeira.