Uma das aplicações mais utilizadas do Teorema do Valor Intermediário consiste na identificação de possíveis reais para uma dada função.
Com base no Teorema do Valor Intermediário, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. Existe uma raiz real para função f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus x minus 8 no intervalo compreendido entre open square brackets 1 comma 2 close square brackets.
PORQUE
II. f open parentheses 1 close parentheses equals negative 2e f open parentheses 2 close parentheses equals 3
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta
Escolha uma:
a.
As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
b.
As asserções I e II são proposições falsas.
c.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
d.
A asserção I é uma proposição verdadeira e a II, falsa.
e.
A asserção I é uma proposição falsa e a II, verdadeira.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre o Teorema do Valor Intermediário. Basicamente, a gente vai verificar duas afirmações sobre uma função e ver como elas se relacionam. A função é f(x) = x³ - x - 8, e as afirmações dizem respeito ao comportamento dessa função no intervalo [1, 2].

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a afirmação II: f(1) = -2 e f(2) = 3. Isso significa que quando x é 1, o valor de f(x) é -2, e quando x é 2, o valor de f(x) é 3.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo [a, b] e assume valores f(a) e f(b) em pontos opostos (um negativo e outro positivo, por exemplo), então existe pelo menos um valor c em [a, b] onde f© = 0. Em outras palavras, a função deve cruzar o eixo x nesse intervalo.

Passo 4

Voltando à afirmação I: “Existe uma raiz real para a função f(x) = x³ - x - 8 no intervalo [1, 2]”. Isso significa que há um valor de x entre 1 e 2 onde f(x) é igual a zero.

Passo 5

Com base na afirmação II, sabemos que f(1) = -2 e f(2) = 3. Como f(1) é negativo e f(2) é positivo, e a função é contínua (porque é um polinômio), o Teorema do Valor Intermediário garante que existe algum c em [1, 2] onde f© = 0. Ou seja, a afirmação I é verdadeira, e a II justifica a I.

Resposta

a. As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.

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