Aplicações
(5.1) O volume
de um cilindro circular reto é dado pela fórmula
, onde
é o raio e
é a altura.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
variar e
permanecer constante.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
variar e
permanecer constante.
© Suponha que
tenha um valor constante de 4 pol, mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol.
(d) Suponha que
tenha um valor constante de 8 pol, mas que
varie. Determine a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol.
(5.1) O volume
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
© Suponha que
(d) Suponha que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o volume de um cilindro, que é dado por
, onde
é o raio e
é a altura. A gente vai precisar usar derivadas para encontrar as taxas de variação instantâneas de
em relação a
e
. Ou seja, vamos ver como o volume muda quando aumentamos o raio mantendo a altura constante, e vice-versa.
Passo 2
Parte (a): Queremos achar a taxa de variação de
em relação a
quando
é constante. Isso significa que vamos derivar
em relação a
, tratando
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Parte (b): Agora, a gente quer a taxa de variação de
em relação a
mantendo
constante. Então, vamos derivar
em relação a
, tratando
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Parte ©: Aqui,
é constante e igual a 4 pol, e queremos a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol.
Usando a fórmula da parte (a):
Substituindo
e
:
Passo 5
Parte (d): Agora,
é constante e igual a 8 pol, e queremos a taxa de variação de
em relação a
no ponto onde
pol.
Usando a fórmula da parte (b):
Substituindo
e
:
Resposta
(a)
(b)
©
em
pol é
pol²
(d)
em
pol é
pol²