Aplicações
(5.1) O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = pi r^2 h, onde r é o raio e h é a altura.
(a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r se r variar e h permanecer constante.
(b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se h variar e r permanecer constante.
© Suponha que h tenha um valor constante de 4 pol, mas que r varie. Determine a taxa de variação de V em relação a r no ponto onde r = 6 pol.
(d) Suponha que r tenha um valor constante de 8 pol, mas que h varie. Determine a taxa de variação de V em relação a h no ponto onde h = 10 pol.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o volume de um cilindro, que é dado por , onde é o raio e é a altura. A gente vai precisar usar derivadas para encontrar as taxas de variação instantâneas de em relação a e . Ou seja, vamos ver como o volume muda quando aumentamos o raio mantendo a altura constante, e vice-versa.

Passo 2

Parte (a): Queremos achar a taxa de variação de em relação a quando é constante. Isso significa que vamos derivar em relação a , tratando como uma constante.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Parte (b): Agora, a gente quer a taxa de variação de em relação a mantendo constante. Então, vamos derivar em relação a , tratando como uma constante.
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Parte ©: Aqui, é constante e igual a 4 pol, e queremos a taxa de variação de em relação a no ponto onde pol.
Usando a fórmula da parte (a):
Substituindo e :

Passo 5

Parte (d): Agora, é constante e igual a 8 pol, e queremos a taxa de variação de em relação a no ponto onde pol.
Usando a fórmula da parte (b):
Substituindo e :

Resposta

(a)
(b)
© em pol é pol²
(d) em pol é pol²

Exercícios relacionados