Calcule as integrais iteradas.
integral0^ln 3 integral0^ln 2 e^x+y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral dupla que você mandou. O enunciado pede para resolver a integral iterada . Isso envolve cálculos de integrais e propriedades dos exponenciais. Vamos precisar lembrar como integrar funções exponenciais e como lidar com integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^ln 2 e^x+y , dy = e^x integral0^ln 2 e^y , dy . A função dentro da integral é , que pode ser reescrita como . Como é constante em relação a , podemos tirar fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar e^x [ e^y ]0^ln 2 = e^x ( e^ln 2 - e^0 ) de 0 a e^x (2 - 1) = e^x cdot 1 = e^x . A integral de em relação a é simplesmente . Então:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral0^ln 3 e^x , dx = [ e^x ]0^ln 3 = e^ln 3 - e^0 em relação a 3 - 1 = 2 de 0 a :
Sabendo que e , temos:

Resposta

O valor da integral é 2.

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