integral(t+raizt+raiz[3]t+raiz[5]t+raiz[5]t) d t

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A questão pede pra gente resolver a integral de em relação a . O conteúdo aqui envolve antiderivadas, que é basicamente encontrar uma função cuja derivada seja a função dada. Vamos precisar saber como integrar potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que temos dois termos iguais de t + raizt + raiz[3]t + 2raiz[5]t , então podemos somá-los:
integral ( t + raizt + raiz[3]t + 2raiz[5]t ) dt
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos lembrar que integrar uma soma é a mesma coisa que somar as integrais de cada termo. Ou seja:
integral t , dt + integral raizt , dt + integral raiz[3]t , dt + 2integral raiz[5]t , dt

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Para potências de integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C , a regra de integração é:
onde e é a constante de integração.

Passo 5

Integrando integral t , dt = t^1+11+1 = t^22 :

Passo 6

Integrando integral t^1/2 , dt = t^1/2 + 11/2 + 1 = t^3/23/2 = 23 t^3/2 , que é :

Passo 7

Integrando integral t^1/3 , dt = t^1/3 + 11/3 + 1 = t^4/34/3 = 34 t^4/3 , que é :

Passo 8

Integrando 2 integral t^1/5 , dt = 2 cdot t^1/5 + 11/5 + 1 = 2 cdot t^6/56/5 = 2 cdot 56 t^6/5 = 53 t^6/5 , que é :

Resposta

Juntando tudo, a antiderivada é:
t^22 + 23 t^3/2 + 34 t^4/3 + 53 t^6/5 + C
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados